Точки перегиба графика функции

Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости.

Первое достаточное условие перегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Заметим, во-первых, что график функции имеет касательную в точке , ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной . Далее, из того, что слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы «Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале

выпуклость, направленную вниз (вверх)» заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным.

Второе достаточное условие перегиба. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , , то график этой функции имеет перегиб в точке M(c,f(c)).

Доказательство. Из условия и из теоремы «Если функция дифференцируема в

точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с» вытекает, что функция либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как , то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функций имеет перегиб в точке M(c,f(c)).