Вычисление площади поверхности тел вращения

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных. Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, …, Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле: Здесь DSi – длина каждой хорды. Применяем теорему Лагранжа к отношению.

Получаем: Тогда Площадь поверхности, описанной ломаной равна: Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.