Замена переменных в определенном интеграле

Пусть функция:

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [α,β],

2. ,

3. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда F(ϕ(t)) - первообразная для функции f(ϕ(t)*ϕ’(t).

, что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.