Вычисление площади криволинейного сектора

Доказательство:

Пусть мы работаем в полярных координатах и имеем дело с кривой r=r (q), a £ q £ b

Фигуру, ограниченную:

А) графиком кривой r=r (q)

Б) прямыми q = a и q = b назовём криволинейным сектором.

Разобьём отрезок [a, b ] на части точками q1, q 2, …q n-1, так,что

a = q 0 <q 1<q 2<…<q n-1<q n-b и обозначим l = max D q I

Пусть mi = int r (q)? Mi = sup r(0) и

q Î [ q I, q I+1] q = [ q I, q I+1]

Так как есть площадь кругового сектора радиуса r и углом D q, то s и S есть площадь всех круговых секторов, вписанных и описанных вокруг нашего криволинейного сектора.

Если при l ® 0 существует lim s и lim S и они равны друг другу, то их общее значение называется площадью криволинейного сектора.

P= lim s = lim S

Но так как s и S есть снова суммы Дарбу, то

что и определяет площадь криволинейного сектора.