Теорема Коши. Если каждая из двух функций непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если

Если каждая из двух функций непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная отлична от нуля всюду внутри сегмента , то внутри этого сегмента найдется точка такая, что справедлива формула (формула Коши)

Доказательство:

1) докажем, что :

Предположим что , то по теореме Ролля для , внутри сегмента нашлась бы точка такая, что . Это противоречит теореме .

2) так как , то имеет место вспомогательная функция

– непрерывна на и дифференцируема

Имея ввиду, что и