Б) Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением ( ) векторов и называется число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

() = (2)

Определим скалярное произведение векторов и через координаты этих векторов. Для векторов , , скалярное произведение равно: (3).

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Если болса, то , =1 и , тогда длина вектора будет (4).

Угол между векторами и определяется по формуле

(5).

Таким образом, скалярное произведение применяется при нахождении длин и величин углов.

в ) Векторное произведение векторов и его свойства

В векторном пространстве V рассмотрим ортонормированный базис R= . Пусть не коллениарные векторы.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2)

3)Тройки векторов одинаково ориентированы.

Если векторы и коллинеарны (параллельны), то их векторное произведение равно нулю. Пусть векторы заданы своими координатами и неколлинеарны:

ТЕОРЕМА. Если

то

(8) формулу удобно записывать следующим образом:

(9)

Свойства векторного произведения.

Применение векторного произведения.

1. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма ABCD

2. Площадь треугольника равна:

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Пусть положительно ориентированный ортонормированный базис.

Определение Смешанным произведением векторов называется число обозначаемое и равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .

Таким образом, - число.

1-ТЕОРЕМА (геометрический смысл смешанного проиведения).Если - три некомпланарных вектора и , то абсолютное значение смешанного произведения равно объему параллелипипеда построенного на векторах :

(1)

2- ТЕОРЕМА. Если в базисе координаты векторов , то

(2)

Свойства смешанного произведения: