Метод простых итераций или метод Якоби

Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(1)

Для получения итерационных формул метода простых итераций из первого уравнений СЛАУ (3.6) выражается x₁, из второго – x₂, из последнего n-го уравнения – x_n. В результате получим систему

x₁= (b₁- a₁₂×x₂ - a₁₃×x₃ - … - a_1n ×x_n) / a₁₁;

x₂ = (b₂– a₂₁×x₁ – a₂₃×x₃ - … - a_2n ×x_n) / a₂₂;

………………………………………….

x_n = (b_n– a_n1×x₁ – a_n2×x₂ - … - a_{n n-1} ×x_n-1) / a_nn.

Или в общем виде

, i=1, n

k=1,2, …до тех пор пока

½x(k)-x(k-1) ½£e.

Достаточным условием сходимости решения системы (1) является диагональное преобладание матрицы A:

.

На каждом шаге происходит приближение корней СЛАУ к истинным значениям.

4.19	Сформулируйте достаточные условия сходимости метода Зейделя для решения СЛАУ.

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и, т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (i = 1, 2, … n).

– по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения

так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов:

.

Достаточным условием сходимости решения системы A·x = f, является то, что матрица A является матрицей с преобладающими диагональными элементами, то есть

4.20	Назовите особенности метода Зейделя.

Является модификацией метода Якоби и отличается от него, тем, что для вычисления корня, на к+1 итерации используются корни в формуле Якоби уже вычисленное на этой, к+1 итерации.

Сходимость метода Зейделя выше, чем в методе Якоби, однако существуют СЛАУ, для которых метод Якоби сходится, а метод Зейделя расходится. В этом случае существует собственное условие сходимости Зейделя определяет.

Т: Пусть А вещественная положительная определенная матрица, тогда метод Зейделя сходится при любых начальных приближениях.

4.21	Назовите функции для решения систем уравнений в Mathcad и особенности их применения.

Для решения СЛАУ в ППП MathCad используется процедура lsolve. Рассмотрим применение процедуры на следующим примере:

Решением этой система являются значения х₁=3, х₂=2.

В пакете Mathcad найти решение этой системы можно так:

.

Отметим, что задав матрицу A и вектор b вектор неизвестных x можно найти решив непосредственно векторно-матричное уравнение

.