Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Этот метод обладает более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Рассмотрим реализацию метода Ньютона для системы из двух нелинейных уравнений вида (3.14).

При итерационном нахождении корней каждое последующее значение отличается от предыдущего на некоторую величину D. Запишем формально итерационные формулы для двух корней

(3.20)

Разложим левые части нелинейных уравнений (4.14) в ряд Тейлора в окрестности точки (x₁^k, x₂^k) и ограничимся производными первыми порядка. Получим

Пусть приращения Dx_i^k, i=1,2 таковы, что функции f₁, f₂ принимают значения близкие к корню, т.е. левые части предыдущей системы равны нулю. Перепишем систему с учетом этого

Или в векторно- матричной форме

(3.21)

В сокращенной форме

(3.22)

Здесь - матрица частных производных Якоби, вычисленная для приближенных корней x_i^k, i=1,2.

Неизвестными в этой системе являются приращения Dx_i^k, i=1,2. Разрешим систему (3.22) относительно Dx_i^k

Найденные приращения используются как поправка к корню, полученному на предыдущем шаге x_i^k, i=1,2. Подставим поправки в формулу (3.20) получим окончательно формулу Ньютона

(3.23)

Если систему двух уравнений (3.21) разрешить относительно приращений не в матричной форме, а например, по правилу Крамера, то получим выражения для приращений в виде

Эти приращения затем используются в формуле (3.20) для нахождения приближения к корням системы на новом шаге.