Правило останова итерационных методов решения нелинейных уравнений

|b-a|<ε

|x_n-x_n-1|< ε

3.21	Условия сходимости метода простых итераций 507

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b], тогда если , для любого x принадлежащего [a,b], то метод простых итераций с любой допустимой погрешностью за конечное число шагов.

3.22	Вычислительные (решающие) блоки ППП MathCad для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Для решения нелинейных уравнений могут использованы следующие процедуры Mathcad:

• root;
• вычислительный блок Given - Find (Дано - Найти);
• вычислительный блок Given - Minerr (Дано - Минимальная погрешность).

Процедура root позволяет найти только один корень уравнения. Причем, перед использованием процедуры требуется задать начальное значение (приближение) корня. Синтаксис этой процедуры приведен ниже:

Для root процедуры большое значение имеет начальное приближение к корню. Например, если вместо х:=-10, задать значение х:=10, то процедура root вообще не найдет корень и выдаст об этом сообщение. Особенности применение вычислительных блоков рассмотрим на примере решения системы нелинейных уравнений:

Продемонстрируем решение этой система в пакете Mathcad:

При использовании вычислительного блока необходимо учитывать следующие особенности:

1. Должны быть определены начальные приближения к корням (в данном примере x:=1 y:=1).

2. В равенствах должны быть использованы знаки тождественного равенства (жирное равенство с Палитры отношений и логики). Кроме равенств система может включать и неравенства, образуемые знаками <, >, £, ³.

3. Служебные слова Given, Find могут быть взяты из служебных слов, либо просто напечатаны.

Вычислительный блок Given - Find создает итерационную последовательность приближений к корню, начиная с заданного начального приближения. Полученное решение таково, что при подстановке его в уравнения правая и левая часть его отличается на величину TOL (TOL erance - точность, погрешность). По умолчанию величина TOL =10^-3. Если требуется более точный результат, то величину TOL можно сменить либо в меню MATH ® Options, либо задав величину в рабочем листе, например TOL:=10^-8. (Имя переменной TOL записывается только в верхнем регистре).

Правила записи вычислительного блока Given - Minerr такие же. Однако итерационная процедура поиска корней ориентирована на поиск решения, минимизирующего разность правой и левой части уравнений. Поэтому возможны ситуации, когда при одних и техже начальных приближениях вы числительные блоки Given - Minerr и Given - Find приводят к разным решениям.

3.23	Геометрическая интерпретация сходимости метода простых итераций

3.24	Методы решения систем нелинейных уравнений