Назовите приближенные методы решения систем нелинейных уравнений

Метод Якоби, Зейделя, Ньютона.

1) Метод Якоби основан на предположении, что каждое нелинейное уравнение f₁(x₁,x₂) и f₂(x₁,x₂) системы можно разделить на линейную(x) и нелинейную(j(x)) часть. Причем из первого уравнения линейно извлекаем x₁, а из второго – соответственно – x₂. Получим

Выбрав начальное приближение (x₁⁰, x₂⁰), подставим его в правую часть системы.

Проделав аналогичные операции для (x₁¹, x₂¹), (x₁², x₂²),…, (x₁^k-1, x₂^k-1), получим общую формулу метода простых итераций

2) Сходимость метода Якоби линейная. Более быструю сходимость дает одна из модификаций метода простых итераций – метод Зейделя. Метод Зейделя отличается от метода Якоби тем, что при вычислении k-го приближения к корню используются уже вычисленные на k-ом шаге корни. Применительно к системе двух уравнений формула (3.16) примет вид

Т.е. для вычисления второго корня используются значения первого корня с текущего шага, остальные значения берутся с предыдущего шага.

3) В основе метода Ньютона лежит использование разложений функции F_i(x₁,x₂,..x_i) в ряд Тейлора, причем члены содержащие более высокие порядки производных, отбрасываются.

Рассмотрим реализацию метода Ньютона для системы из двух нелинейных уравнений вида.

При итерационном нахождении корней каждое последующее значение отличается от предыдущего на некоторую величину D. Запишем формально итерационные формулы для двух корней