Похідна функції комплексної змінної. Умови диферент.Поняття аналітичної функції

Якщо існує і вона не залежить від способу прямування то ми називаєм її похідною в т. і позначають

Означення. Функція називається аналітичною в точці якщо вона диференційована в цій точці і в деякому околі цієї точки.

Означення. Якщо аналітична в кожній точці області , то вона аналітична в цій області.

Якщо функція має похідну в т. то її дійсна і уявна частини і мають похідні по обох зміних в т. і мають місце співвідношення:

(1)

(2)

Доведення.

1)

=

2)

Рівняння (1), (2) називаються умовами Коші-Рімана, або рівняннями Ейлера-Даламбера.

Якщо функція має похідну в т. , то вона називається диференційованою в цій точці.

Якщо функція має похідну в кожній точці області ,то вона є диференційованою в цій області.

Якщо функція диференційована в т. , то в цій точці для неї виконуються умови Коші-Рімана.

Достатні умови диференційованості функції комплексної змінної

Означення. Функції називаються диференційованими в точці , якщо їх повний приріст в точці буде дорівнювати:

(1)

(2)

Теорема. Якщо дійсна і уявна частини мають в точці неперервні частинні похідні і для них виконуються умови Коші-Рімана, то є диференційованою.

Доведення. Покажемо, що

.

Теорема. Якщо для функції її дійсна і уявна частини - диференційовані в точці і їх частині похідні задовольняють умовам Коші-Рімана, то функція диференційована в т. .