Ф-ла і ряд Тейлора. Біноміальний ряд

Нехай функція неперервна на і диференційовна на . Тоді на функція задовільняє всім умовам т. Лангранжа, згідно з якою , що залежить від вибору т. : . Узагальненням цієї формули є формула Тейлора.

Теор. Нечай функція має на похідні до n-го порядку включно і нехай на має похідну го порядку, p-довільне додатне число. Тоді що має місце формула:

Многочлен -називається многочленом Тейлора.

-називається залишковим членом у формулі Тейлора у формі Шльомиха і Рошша.

Насл. Нечай функція задовільняє усім умовам попередньої теореми. Тоді що

-залишковий член у формі Лагранжа.

Насл.

- залишковий член у формі Коші.

Озн. Нехай функція задана в деякому околі т. і нехай в т. ця функція є нескінчено разів диференційованою. Тоді степеневий ряд виду називається рядом Тейлора функції .

Озн. Кажуть, що функція розкладається в степеневий ряд на якщо вона є сумою цього ряду на цьому інтервалі, тобто якщо

Теор. Для того, щоб ф-я , що має в інтервалі похідні всіх порядків розвивалась в свій ряд Тейлора щоб залишковий член в ф-лі Тейлора (Лагранжа або Коші) на збігався до нуля.