Теорема Банаха про стиск відображення та її застосування

Розгл відобр дов метричного простору в себе. Їх наз операторами і позн . Пи розгл рівнянь є такі, які можна подати у вигляді (1), де - деяка точка з , -оператор з . Розв’язати (1) означає знайти ті точки , при яких (1) вірна. Їх наз розв’язками опер . Перед тим, як розв (1) треба дізнатись, чи має (1) розв’язок, скільки найпростіш це пит розв для операторів стиску.

О. Відобр метричного простору в себе наз оператором стиску, якщо

.

Кожне стиснуте відобр є неперерв відобр .

Т. (Банаха) Всяке стискуюче відобр повного метр простору в себе має в просторі єдину нерухому точку.

Д. Проводиться методом послідовних наближень шуканої нерухомої точки, який полягає в тому, що будується послідовність, яка прямує до шуканої точки. Вона будується так:

Нех

Покажемо, що ця послід фундамент в . Пок, що .

а)

б)

. Отже

(2); . Отже, ця послід фундамент. Оск простір повний, то посл є зб, тобто .

Т. є шуканою нерухомою точкою. Щоб в цьому переконатись, досить в посл перейти до границі. Але -неп оператор то при маємо:

-нерухома точка відобр , і до того ж єдина. Якби поряд з нерухомою була б ще й т , то мали б: , .

Теор Банаха застосов при д-ні теореми про неявної ф-ї, при д-ні теор Пікара про розв’язку диф р-ня.