Біноміальний ряд

Розкладемо в ряд Макларена степеневу функцію . Для ця функція визначена для тому найбільшим інтервалом в якому можна розкласти її в ряд Маклорена буде

……………………………………………………………

(1)

Покажимо, що розглядувана функція розкладається в степеневий ряд (1) на . Для цього покажимо, що загальний член

.(2)

Розглянемо ряд . Дослідимо його на збіжність за ознакою Даламбера.

За ознакою Даламбера розглядуваний ряд буде абсолютно збіжним а отже загальний член .

(3)

Маємо, що -1<x<1, , послідовність є обмежиною. Маємо крім того що , , , (, і (, -послідовність, що є обмежиною. Таким чином в (2) маємо добуток нескінчено малої послідовності на обмежені послідовності, що означає що є н.м.п.

Згідно з критерієм розкладу функції в степеневий ряд робимо висновок, що функція розкладається в степеневий ряд і має місце рівність: