Метричні простори. Відкриті та замкнені множини. Повні метричні простори

Озн. Множина називається метричним простором, якщо за певним правилом у відповідності кожній впорядкованій парі ел-ів цієї множини поставлене дійсне число , яке називається віддалю між елементами і і задовільняє умовам:

1) 2) симетр;

3) непер-сть.

Озн. Метричним простором називається сукупність , де - деяка множина, - метрика на цій множині.

Озн. Нехай U-деяка множина метричного простору M тоді називається граничною для множини U якщо в кожному околі точки принаймні 1-на точка , . Якщо точок яка збігається до .

Озн. Нехай U множина точок метричного простору M. Тоді називається внутрішньою точкою множини якщо ця точка входить в множину з деяким своїм околом. Озн. Множина метричного простору називається замкненою, якщо вона містить в собі всі свої граничні точки. Озн. Множина G метричного простору називається відкритою якщо кожна точка цієї множини є її внутрішньою точкою.

Теор. Множина G метричного простору M є відкритою коли її доповнення множина замкнена.

Теор. 1) Об’єднання скінченої сукупності замкнених множин є множиною замкненою.

2) Перетин довільної сукупності замкнених множин є множиною замкненою.

Д. 1) Дано: , - замкнена. Довести: - замкнена. - довільна гранична т. множини . Доведемо, що . Згідно означення:

. Всіх точок безліч, а множина скінчена к-сть, тому принаймні в одній з множині міститься нескінчена послід , . За властивістю: з того, що , то - гранична точка множини За умовою множини замкнені, то , а отже .

2) Дано: , - замкнені. Довести: - замкнена. - гран т. множини . Покажемо, що - замкнені, то . - замкнена.

Теор. 1) Об’єднання довільної сукупності відкритих множин є множиною відкритою.

2) Перетин скінченої сукупності відкритих множин є множина відкрита.

Озн. Якщо в лінійно-нормованому просторі кожна фундаментальна послідовність збіжна, то простір називають повним, або банановим.

Озн. Послідовність називається фундаментальною, або збіжною в собі якщо

Теор. В метр просторі збіжна послідовність є фундаментальною.

Озн. Послід точок метричного простору називається фундаментальною, якщо різниця , тобто .

Теор. В повному метричному просторі всяка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких і має єдину спільну точку.

Теор. Метричний простір є повним тоді і тільки тоді, коли стяжна система його замкнених куль має єдину спільну точку.