Класифікація функцій за їх властивостями

Обмежені та необмежені функції.

О.1 Функція назив. обмеженою зверху на множині , якщо існує таке дійсне число таке, що

Наприклад. . Розглядувана функція обмежена на множині А, через те що існує таке дійсне число , таке що .

О.2 Функція назив. обмеженою зверху на множині , якщо існує таке дійсне число таке, що

О.3 Функція назив. обмеженою на множині , якщо на цій множині вона обмежена і зверху і знизу, тобто якщо існують і такі дійсні числа , такі що

Т.1 Для того, щоб ф-ія була обмежена на мн. необхідно і досить, щоб існувало дійсне число , таке що .

Доведення

Необхідність. Нехай ф-ія є обмеженою на мн. А, тоді існують такі дійсні числа , такі що , тоді будемо мати, що

.

.

Достатність.

Нехай існує таке що .

А це означає, що ф-ія обмежена.

О.4 Якщо ф-ія обмежена зверху (обмежена знизу, обмежена) на своїй області визначення , то її називають просто обмеженею зверху (обмеженою знизу, обмеженою).

О.5 Функція назив. необмеженою зверху на множині , якщо для будь-якого дійсного числа існує такий що .

Наприклад. . Розглядувана функція обмежена на множині А, через те що існує таке дійсне число, таке що .

О.6 Функція назив. необмеженою зверху на множині , якщо для будь-якого дійсного числа існує такий що .

О.7 Функція назив. необмеженою на множині , якщо на цій множині вона необмежена і зверху, або необмежена знизу, або необмежене і зверху і знизу.

Т.2 Для того, щоб ф-ія була необмежена на мн. необхідно і досить, щоб для будь-якого , існувало б таке, що .

Доведення

Необхідність. Нехай ф-ія - необмежена на мн. А. Нехай ф-ія необмежена зверху. Тоді для : .

Якщо ж ф-ія необмежена знизу, то для дійсного числа буде існувати точка , що

Достатність. Нехай для будь-якого , , .

Доведемо, що ф-ія необмежена на мн. А. Дійсно, якщо вона б була обмежена на мн. А, то згідно з Т.1 існувало б , . Але з іншого боку за умовою нашої теореми повинне існувати , таке, шо .

Ми отримали суперечність, яка і доводить, що ф-ія є необмеженою на мн. А.

Т. доведено.

О.8 Якщо ф-ія необмежена на області визначення знизу, то вона назив. необмеженою знизу.

О.9 Якщо ф-ія необмежена на області визначення зверху, то вона назив. необмеженою зверху.

О.10 Якщо ф-ія необмежена на області визначення, то вона назив. необмеженою.

Монотонні ф-ії