Доведення. Припустимо, що ця множина зліченна і тоді її можна записати у вигляді посллідовності:

Припустимо, що ця множина зліченна і тоді її можна записати у вигляді посллідовності:

всі числа, крім одиниці і тому її можна записати таким способом:

Щоб виявити суперечність з умовою розглянамо .

Зауважимо, що і тому воно повинно дорівнювати деякому з чисел .

Вийшла суперечність. Отже множина усіх чиселвідрізка незліченна.

О.3 Множина називається множиною потужності континууму або континуальною множиною.

Познач. .

Т.2 Якщо з нескінч. мн. вилучити скінченну (зліченну) мн. так, що залишиться нескінченна множина , то .

Т.3 Об’єдання скінченної або зліченної сукупності множин потужності континууму є мню потужності континиуму.

Об’єднання контиууму множин потужності континууму є множиню потужності контнууму.

П-ди иножин потужності континууму.

1. Будь-який відрізок є множиною потужності континууму.

Доведення

Щоб це довисти, требе задати взаємооднозначне відображення .

Найпростіше це здійснити за допомогою елементарних ф-ій.

,

відображ. .

Це відображення ін’єктивне, бо ф-ія зростаюча. Воно є і сюр’єктивне, бо .

2. Будь-який інтревал має потужність континиуму.

Оскільки інтревал одкржується з вдірізка інтревал вилучення двох кінцевих точок, то за т.2 .

За транзетивністю виходить, що . Отже інтервал має потужність континиуму.

3. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континиуму на підставі т.2.

Тому що мн. — нескінченна.

— нескінченні і отримується вилученням з мн. мн. . потужність континиуму.

4. Множина всіх дійсних трансидентних чисел має потужність континиуму.

За теоремою 2, бо одержується з мн. , мн (а готичне) арифметичних чисел, яка є зліченною.

– нескінченна. У протилежному випадку була б зліченною, бо злічена, отже – нескінченна і за т.2 , отже має потужність континиуму.