Доведення. Бієктивне відображення мн

Рефлексивність:

Бієктивне відображення мн. А на мн. А одержимо, якщо кожному елементу з мн поставимо той самий елемент .Симетричність:

Якщо , то існує бієктивне відображення мн. на і тоді , при чому бієктивно.

Транзетивність:

,

Згідно з означенням існує , -бієктивне та бієктивне , оді відображення (композиція) відображає на .

Н.1 Поняття рівнопотужності множин дозволяє розбити довільну сукупність множин на класи еквівалентних між собою множин, які взаємно неперерізні і непорожні.

Кантор говорив, що потужність – це те спільне, що є в класі рівнопотужних між собою множин.

Якщо множини скінченні, то спільне є кількість елементів. Отже потужність нескінченних множин – це кількість елементів. Потужність скінченної множини – натуральні числа. Потужність нескінч. Мн. – кардиальні числа.

Т.2 Якщо дана сукупність взаємно неперерізних множин і сукупність взаємно неперізних мн. , і при , то .

О.3 Мн. назив. зліченню(зчисленною), якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел, тобто існує взаємооднозначне відображеня мн. на мн. натуральних чисел.

Очевидно, що мн. зліченна тоді і тільки тоді, коли її можна записати у вигляді послідовності . Спарвді, якщо мн. зліченна, то існує бієктивне відображення . При цьому відображ. деякий елем. . Навпаки .

Т.3 Із нескінченної мн. завжди можна виідлити скінченну підмн.