 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р
|
|
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р. Какова при этом примерная частота появлений события А?
Теорема. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
(1.7.3)
где 
– частота появлений события в серии из n испытаний.
Доказательство. Пусть Хi – число появлений события А в i -м испытании (i=1, 2, …, n). Каждая из этих величин может принимать только два значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q=1–p. Эти величины независимы; мы также знаем, что дисперсия каждой из этих величин равна pq=p(1–p) £ 
, т.е. ограничена. Поэтому к величинам Хi можно применить теорему Чебышева:
.
Но М(Х1)=М(Х2)=…=М(Хn)=p, а Х1+Х2+…+Хn=m и есть число появлений события А в n испытаниях. Поэтому
.
Теорема доказана.
Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при большом n обладает свойством устойчивости. Можно сказать, что эта теорема оправдывает статистическое определение вероятности.
1.7.4. Понятие о центральной предельной теореме (о теореме Ляпунова)
Нормально распределенные случайные величины широко используются в прикладных вопросах теории вероятностей. Связано это не с простотой математического описания, а с тем, что во многих практических ситуациях случайные величины в действительности оказываются распределенными по нормальному закону. Почему так происходит?
Ответ на этот вопрос дает так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова).
Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Это очень упрощенная формулировка. Существует целая область теории вероятностей, которая занимается выяснением условий, при которых сумма случайных величин оказывается распределенной по нормальному закону.
Пример. Некоторый прибор измеряет физическую величину. На результат измерения влияет большое число факторов: температура, влажность, давление, вибрации прибора и т.д. и т.п. Реально таких факторов, определяющих случайную ошибку измерений, всегда оказывается очень много. Поэтому часто на практике используют вероятностную модель ошибок измерения, распределенных по нормальному закону. Опыт и практика подтверждают справедливость этих моделей.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 501 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
