Закон распределения и функция распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений, т.е. пар чисел (х_i, y_j) и их вероятностей р_ij (i=1, …, n; j=1, …, m). Обычно закон распределения задают таблицей с двумя входами:

Х Y	x1	x2	…	xn
y1	p11	p12	…	p1n
y2	p21	p22	…	p2n
…	…	…	…	…
ym	pm1	pm2	…	pmn

Все события в таблиценесовместны и образуют полную группу, поэтому

. (1.8.1)

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. В самом деле, чему, например, равна вероятность того, что Х=х₁? Если Х=х₁, то Y при этом может принять любое из своих возможных значений у₁, …, у_m. Это значит, что вероятность того, что Х=х₁ равна вероятности наступления одного из событий: (х₁, у₁), (х₁, у₂), …, (х₁, у_m). Но эти события несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей:

.

Таким образом, вероятность равна сумме вероятностей, находящихся в первом столбце. В общем случае, чтобы вычислить вероятность , надо просуммировать все вероятности в i -м столбце таблицы. Аналогично, сложив все вероятности

в j -й строке, получим вероятность .

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

Х Y	x1	x2	х3
y1	0,1	0,3	0,2
y2	0,06	0,18	0,16

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х:

P{X=x₁}=0,1+0,06=0,16;

P{X=x₂}=0,3+0,18=0,48;

P{X=x₃}=0,2+0,16=0,36.

Закон распределения случайной величины Х:

Х	х1	х2	х3
Р	0,16	0,48	0,36

Аналогично, складывая вероятности по строкам исходной таблицы, получим:

P{Y=y₁}=0,1+0,3+0,2=0,6;

P{Y=y₂}=0,06+0,18+0,16=0,4.

Закон распределения случайной величины Y:

Y	y1	y2
Р	0,6	0,4