Неравенство Чебышева. Это неравенство, вообще говоря, справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин

Это неравенство, вообще говоря, справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Для простоты сформулируем и докажем его для дискретных величин.

Пусть закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn

Поставим задачу: как найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) не превысит по модулю некоторого e>0?

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем :

Р(|х–M(X)|<e) ³ . (1.7.1)

Доказательство. Рассмотрим два события: |х–M(X)|<e; |х–M(X)| ³ e. Это события противоположные, поэтому

Р(|х–M(X)|<e)=1–Р(|х–M(X)| ³ e). (*)

Теперь задача сводится к оценке вероятности Р(|х–M(X)| ³ e). Запишем выражение для D(X):

D(X)=[x₁–M(X)]²×p₁+[x₂–M(X)]²×p₂+…+[x_n–M(X)]²×p_n.

Все слагаемые в правой части неотрицательные. Отбросим те из них, для которых

|х_i–M(X)|<e, тогда для всех оставшихся |х_j–M(X)| ³ e. При таком отбрасывании сумма только уменьшится. Будем считать, что отброшены k первых слагаемых (именно так их можно пронумеровать). Тогда

D(X)³[x_k+1–M(X)]²×p_k+1+[x_k+2–M(X)]²×p_k+2+…+[x_n–M(X)]²×p_n. (**)

Заметим, что

|х_j–M(X)| ³ eÛ |х_j–M(X)|² ³ e².

Заменим в правой части (**) каждую из скобок [х_j–M(X)] ² на e², при этом неравенство только усилится.

D(X)³e²(р_k+1+p_k+2+…+p_n).

Но что такое р_k+1+p_k+2+…+p_n? Это вероятность того, что Х примет одно из значений х_k+1, х_k+2, …, х_n. Это и есть вероятность неравенства |x–M(X)| ³ e.

Поэтому

D(X) ³ e²×P(|x–M(X)| ³ e), или

P(|x–M(X)| ³ e) £ . (***)

Подставим (***) в (*), получим

P(|x–M(X)|<e) ³ 1– ,

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева для практики имеет ограниченное значение, т.к. иногда дает слишком грубую оценку вероятности (реальная вероятность оказывается выше той, которая дается неравенством Чебышева). Но оно имеет несомненную теоретическую ценность, и это мы в дальнейшем увидим.