Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку [a;b], а плотность распределения равна f(x), будем пользоваться следующей приближенной процедурой. Разобьем отрезок [a;b] на n небольших частичных отрезков длины Dх₁, Dх₂, …, Dх_n и в каждом из них выберем произвольную точку х_i (i=1, …, n). Будем считать, что, если n велико, то непрерывная случайная величина заменена дискретной: она может принимать только значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями р_i=f(x_i)Dx_i. Тогда, используя методику вычисления математического ожидания для дискретной случайной величины, запишем:

.

Если теперь перейти к пределу при (max Dx_i)®0, то получим

. (1.6.8)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

. (1.6.8')

При этом предполагается, что интеграл сходится абсолютно, т.е. существует (сходится) интеграл .

По аналогии дисперсией непрерывной случайной величины называется величина

, (1.6.9)

или

. (1.6.9')

Среднеквадратическое отклонение как и для дискретной случайной величины определяется равенством

. (1.6.10)

Замечание 1. Все свойства математического ожидания и дисперсии, выведенные для дискретных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Замечание 2. Для вычисления дисперсии можно вывести более удобные формулы:

, (1.6.9'')

(1.6.9''')

для ограниченной и неограниченной случайных величин соответственно.