Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин

1.6.4.1. Равномерный закон распределения

В теории вероятностей очень часто рассматривают непрерывную случайную величину, возможные значения которой представляют собой интервал (a;b), а плотность распределения постоянна внутри этого интервала:

(1.6.10)

График этой функции имеет вид:

Найдем функцию распределения F(x) для такой случайной величины.

.

Если х £ a, то f(x)=0 и F(x)=0. Если же a<x £ b, то и

.

Если x>b, то

.

Таким образом,

(1.6.11)

График функции распределения имеет вид:

Случайная величина, которую мы рассмотрели, называется равномерной случайной величиной, а формулы (1.6.10) и (1.6.11) описывают так называемый равномерный закон распределения.

Найдем для этого распределения математическое ожидание и дисперсию.

.

Таким образом, математическое ожидание – это значение, соответствующее середине отрезка [a;b].

В приложениях часто используется следующий частный случай: а=0; b=1. Тогда

.

1.6.4.2. Нормальный закон распределения

Пожалуй, нет в теории вероятностей такого закона распределения, который использовался бы так часто и плодотворно, как нормальный закон распределения (закон распределения Гаусса; гауссов закон распределения).

Нормальным называется распределение непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

. (1.6.12)

Это распределение определяется двумя параметрами: а и s. Покажем, что а есть математическое ожидание, а s – среднеквадратическое отклонение (сразу отметим, что s>0, т.к. f(x)>0).

Заметим прежде, что в силу условия нормировки

. (1.6.13)

Можно в интеграле (1.6.13) сделать замену

, х=sz+a, dx=sdz.

Т.к. s>0, то пределы интегрирования не изменятся и интеграл можно записать в виде

или

. (1.6.14)

Этот интеграл (несобственный) в математике носит название интеграла Пуассона. Он часто используется при расчетах, связанных с нормальным распределением.

Теперь вычислим математическое ожидание:

Опять сделаем замену переменных , тогда

Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах.

Второй же интеграл легко вычисляется через интеграл Пуассона:

.

Дисперсию будем вычислять по формуле

.

Снова сделаем замену

, х–а=sz, dx=sdz.

Тогда

.

Выполним интегрирование по частям:

u=z, dv= z dz,

du=dz, ,

.

Легко убедиться, что

(например, раскрывая предел по правилу Лопиталя).

Поэтому

,

.

Замечание 1. Нормальное распределение с параметрами а=0 и s=1 называется нормированным. Если Х – нормальная случайная величина с параметрами а и s, то – нормированная случайная величина с параметрами М(U)=0, s(U)=1. Плотность нормированного распределения:

(1.6.15)

Обычно в литературе по теории вероятностей приводятся таблицы этой функции.

Функция распределения F(х) для нормального закона определяется равенством:

. (1.6.16)

Для нормированного распределения

. (1.6.17)

Функция F₀(x) также табулирована.

Функция же F(x) легко выражается через F₀(x). Для этого в интеграле (1.6.16) сделаем стандартную замену переменных: , тогда z=s t+a, dz=s dt и

.

Таким образом,

. (1.6.18)

График функции f(x)= . Нормальная кривая

Положим , исследуем эту функцию и построим ее график.

1. Область определения функции: хÎR.

2. у>0 при хÎR.

3. . Ось Ох – горизонтальная асимптота графика.

4. Найдем первую производную:

.

Кривая знаков для у' имеет вид:

Таким образом, функция возрастает при хÎ(–¥;а) и убывает при хÎ(а;¥). Точка х=а – точка максимума функции, .

5. Функция зависит от (х–а)², т.е. график функции симметричен относительно прямой х=а.

График имеет следующий вид:

Данная кривая носит название нормальной кривой (нормальное распределение, распределение Гаусса, гауссоида).

Параметр а – математическое ожидание; он определяет сдвиг кривой вдоль оси Ох. Если а=0, график симметричен относительно оси Оу:

Если а>0 или a<0, то кривая сдвигается на величину а вправо или влево, не изменяя своей формы.

Если же изменять величину s, то надо иметь в виду следующие два обстоятельства:

1) параметр s описывает разброс случайной величины относительно ее математического ожидания: чем больше параметр s, тем шире гауссоида;

2) площадь под кривой фиксирована и равна единице.

Следовательно, с увеличением параметра s кривая становится шире, а в максимуме ее значение уменьшается. И наоборот, при уменьшении s кривая сжимается и ее максимум возрастает.

Несколько кривых Гаусса с параметрами а=0 и различными значениями s изображены на рисунке:

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Для любой случайной величины Х

.

Для нормальной случайной величины

. (*)

Обычно эту формулу преобразуют, чтобы воспользоваться табулированной функцией Лапласа, которую мы ввели ранее:

.

Если в формуле (*) сделать замену переменных , то получим

.

. (1.6.19)

Пример.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а=30, s=10. Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале (10;40).

Решение. Воспользуемся формулой (1.6.19).

=f(1)–f(–2)=

=f(1)+f(2)=0,3413+0,4772=0,8185.

Мы воспользовались тем, что f(–х)=–f(х). Значения f(1) и f(2) взяты из таблиц.

Вычисление вероятности заданного отклонения

Найдем вероятность того, что |X–a|<d, т.е. вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины по модулю не более d (d>0). Что это означает геометрически?

Вероятность этого события описывается заштрихованной площадью.

P(|X–a|<d)=P(–d<X–a<d)=P(a–d<X<a+d)=

= .

P(|X–a|<d)= . (1.6.20)

Правило трех сигм

Положим в (1.6.20) d=3s, тогда

P(|X–a|<3s)=2f(3)=2×0,49865=0,9973.

Вероятность того, что отклонение по абсолютной величине не превосходит утроенное среднеквадратическое отклонение, очень велика (0,9973), т.е. только в 0,27% случаев отклонения могут превысить 3s. Это очень маленькая вероятность, поэтому на практике пользуются правилом трех сигм: нормальная случайная величина с очень высокой вероятностью (практически достоверной) заключена в интервале (а–3s; а+3s).

1.6.4.3. Экспоненциальное (показательное) распределение

Экспоненциальным называется распределение, плотность которого имеет вид:

(1.6.21)

где l>0 – постоянный параметр.

Распределение характеризуется единственнымпараметром l. Его график имеет вид:

Это распределение имеет большое применение в теории надежности и теории массового обслуживания. Найдем функцию распределения F(x):

.

Таким образом,

График для F(x) имеет вид:

Найдем математическое ожидание и дисперсию этого распределения.

Интегрируем по частям:

x=u, le^–lxdx=dv; du=dx, v=–e^–lx.

Поскольку интеграл несобственный, выражение надо рассматривать как предел

(предел раскрыт по правилу Лопиталя).

Аналогично находим

.

Таким образом,

.

Дисперсия

.

Интегрируя по частям и вычисляя несобственные интегралы, получим (проделать самостоятельно):

, .

Таким образом, для экспоненциального закона распределения

М(Х)=s(Х)= . (1.6.22)

Теперь попробуем вычислить вероятность попадания в заданный интервал.

P(a<X<b)=F(b)–F(a)=1–e^–lb–(1–e^–la)=e^–la–e^–lb.

Значения функции е^–х вычисляется на калькуляторе.

Пример. Случайная величина распределена по закону

f(x)=2e^–2x, x ³ 0.

Найти P(0,3<X<1).

Решение.

P(0,3 < X < 1) = e^–2×0,3 – e^–2×1 = e^–0,6 – e^–2 = 0,54881 – 0,13534 = 0,41347.