Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если пользоваться формулой Бернулли для больших n, приходится оперировать с громадными числами

Если пользоваться формулой Бернулли для больших n, приходится оперировать с громадными числами. Например, если n=50, m=30, р=0,1, то

Р₅₀(30)= ×(0,1)³⁰×(0,9)²⁰,

где 50!» 3,04×10⁶⁴; 30!» 2,65×10³²; 20!» 2,43×10¹⁸.

При еще в 1730 году Муавром была найдена асимптотическая формула, справедливая при больших n.

В 1783 году Лаплас обобщил эту формулу на произвольные значения р, отличные от 0 и 1. В литературе эту теорему обычно называют теоремой Муавра-Лапласа.

Доказательство теоремы выходит за рамки нашего курса. Приведем ее формулировку и примеры.

Теорема. Если вероятность р события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n(m) того, что событие А появится в n испытаниях m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

(1.1.9.2)

при , .

Итак,

.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в серии из 400 независимых испытаний, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. n=400; m=80; p=0,2; q=0,8.

По формуле Муавра-Лапласа:

,

j(0)=0,3989 (это значение вычисляется либо на калькуляторе, либо берется из специальных таблиц для функции j(х), имеющихся в любой литературе по теории вероятностей).

Р₄₀₀(80)» 0,04986.

Заметим, что точное значение, вычисленное по формуле Бернулли, равно 0,0498.