![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если рассматривается несколько (более двух) независимых событий, то их независимость может иметь различный характер. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.
Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, события А1, А2, А3 независимы в совокупности, если независимы следующие события: А1 и А2; А1 и А3; А2 и А3; А1 и А2А3; А2 и А1А3; А3 и А1А2.
Из этого определения следует, что если события независимы в совокупности, то для каждого из них любая условная вероятность, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события, равна безусловной вероятности появления данного события. Отсюда же ясно, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Таким образом, требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.
Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2)…Р(Аn). (1.1.6.10)
Доказательство приведем для n=3. Пусть события А, В, С независимы в совокупности. Тогда независимы АВ и С, так что
Р(АВС)=Р(АВ×С)=Р(АВ)×Р(С).
Но Р(АВ)=Р(А)×Р(В), поэтому Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С).
Замечание. Если события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то и противоположные события ,
, …,
также независимы в совокупности.
Пример 1. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по 1 детали. Найти вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными.
Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь
(событие А):
.
Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):
.
Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С):
.
События А, В, С независимы в совокупности, т.к. нет никакой связи между результатами экспериментов с отдельными ящиками. Поэтому
Р(АВС)=Р(А)×Р(В)×Р(С)=0,8×0,7×0,9=0,504.
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления этих событий будем считать заданными: р1, р2, …, рn. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Ответ дает теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ,
, …,
:
Р(А)=1–q1q2…qn, (1.1.6.11)
где qi=1–рi, i=1, …, n.
Доказательство. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, … Аn. События А и
…
(ни одно из событий не наступило) противоположны, поэтому
Р(А)=1–Р(
…
).
Но, если А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то ,
, …,
также независимы в совокупности, поэтому
Р(
…
)=Р(
)Р(
)…Р(
)=q1q2…qn,
Отсюда
Р(А)=1–q1q2…qn,
что и требовалось доказать.
Частный случай: если события А1, А2, …, Аn имеют одинаковую вероятность р, то
Р(А)=1–qn,
где q=1–р.
Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1=0,8; р2=0,7; р3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одновременном залпе всех орудий.
Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, соответствующие попаданию в цель из первого, второго и третьего орудий. Вероятности событий (промахов каждого из орудий) равны:
q1=1–р1=0,2; q2=1–р2=0,3; q3=1–р3=0,1.
Тогда
Р(А)=1–q1q2q3=1–0,2×0,3×0,1=0,994.
Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение. Пусть событие А: при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз. Тогда – событие, состоящее в том, что при n выстрелах не было ни одного попадания. Очевидно
Р()=qn=(1–р)n; P(A)=1–(1–р)n.
По условию задачи n следует найти из соотношения
1–(1–р)n ³ 0,9.
При р=0,4 1–р=0,6, т.е.
1–(0,6)n ³ 0,9; (0,6)n £ 0,1; n lg0,6 £ –1.
Т.к. lg0,6» –0,2218, то
n×(–0,2218) £ –1; .
Итак, n ³ 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 307 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!