Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Хотя бы одного события



Если рассматривается несколько (более двух) независимых событий, то их независимость может иметь различный характер. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, события А1, А2, А3 независимы в совокупности, если независимы следующие события: А1 и А2; А1 и А3; А2 и А3; А1 и А2А3; А2 и А1А3; А3 и А1А2.

Из этого определения следует, что если события независимы в совокупности, то для каждого из них любая условная вероятность, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события, равна безусловной вероятности появления данного события. Отсюда же ясно, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Таким образом, требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2)…Р(Аn). (1.1.6.10)

Доказательство приведем для n=3. Пусть события А, В, С независимы в совокупности. Тогда независимы АВ и С, так что

Р(АВС)=Р(АВ×С)=Р(АВ)×Р(С).

Но Р(АВ)=Р(А)×Р(В), поэтому Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С).

Замечание. Если события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то и противоположные события , , …, также независимы в совокупности.

Пример 1. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по 1 детали. Найти вероятность того, что три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь

(событие А):

.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):

.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С):

.

События А, В, С независимы в совокупности, т.к. нет никакой связи между результатами экспериментов с отдельными ящиками. Поэтому

Р(АВС)=Р(А)×Р(В)×Р(С)=0,8×0,7×0,9=0,504.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления этих событий будем считать заданными: р1, р2, …, рn. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Ответ дает теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, :

Р(А)=1–q1q2…qn, (1.1.6.11)

где qi=1–рi, i=1, …, n.

Доказательство. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, … Аn. События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, поэтому

Р(А)=1–Р( ).

Но, если А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то , , …, также независимы в совокупности, поэтому

Р( )=Р()Р()…Р()=q1q2…qn,

Отсюда

Р(А)=1–q1q2…qn,

что и требовалось доказать.

Частный случай: если события А1, А2, …, Аn имеют одинаковую вероятность р, то

Р(А)=1–qn,

где q=1–р.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1=0,8; р2=0,7; р3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одновременном залпе всех орудий.

Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, соответствующие попаданию в цель из первого, второго и третьего орудий. Вероятности событий (промахов каждого из орудий) равны:

q1=1–р1=0,2; q2=1–р2=0,3; q3=1–р3=0,1.

Тогда

Р(А)=1–q1q2q3=1–0,2×0,3×0,1=0,994.

Пример 3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Пусть событие А: при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз. Тогда – событие, состоящее в том, что при n выстрелах не было ни одного попадания. Очевидно

Р()=qn=(1–р)n; P(A)=1–(1–р)n.

По условию задачи n следует найти из соотношения

1–(1–р)n ³ 0,9.

При р=0,4 1–р=0,6, т.е.

1–(0,6)n ³ 0,9; (0,6)n £ 0,1; n lg0,6 £ –1.

Т.к. lg0,6» –0,2218, то

n×(–0,2218) £ –1; .

Итак, n ³ 5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 277 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...