Распределение Пуассона (пуассоновское приближение

биномиального распределения)

Еще раз обратимся к схеме n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность события равна q=1–p. В общем случае для определения вероятности m появлений события А справедлива формула Бернулли. Если n велико (n³50), то для расчетов справедлива асимптотическая формула Лапласа. Однако эта асимптотическая формула дает плохие результаты, если вероятность р мала (р£0,1), т.е. в ситуации, когда изучаются довольно "редкие" события.

В области n®¥, p®0 существует еще одна асимптотическая формула, которая носит название формулы Пуассона или распределения Пуассона. Она выводится в предположении, что при n®¥ и р®0 величина l=np является константой.

Распределение Пуассона имеет вид:

, m=0, 1, 2, …. (1.2.3.1)

Им обычно пользуются вместо биномиального в ситуации, когда n>>1, а р<<1. Имеются специальные таблицы распределения Пуассона, которые позволяют по известным n и m найти Р_n(m).

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что при перевозке изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу привезут 3 негодных изделия.

Решение. n=5000; p=0,0002; m=3. Сначала найдем l=np=5000×0,0002=1. По формуле Пуассона

Р₅₀₀₀(3)=