Схема Бернулли. Формула Бернулли

Независимые последовательные испытания – это такие испытания, в которых исход каждого последовательного опыта никак не связан с предыдущими исходами, т.е. не зависит от них. Предположим, что мы многократно подбрасываем монету. Будем считать выпадение герба удачей, а выпадение решки – неудачей.

Нет никаких оснований считать, что в одном из конкретных бросаний удачный или неудачный исход зависит от того, что произошло при предыдущих бросаниях. Можно привести большое число примеров последовательных независимых испытаний. Например, будем считать, что производство на станке детали стандартного типа – удача, а бракованной детали – неудача. Если технологические условия изготовления деталей не меняются, то этим условиям соответствует некоторый процент брака: это означает, что вероятность изготовления стандартной детали или вероятность изготовления бракованной детали являются постоянными для всей серии испытаний.

Если вероятность наступления некоторого события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Сама же последовательность таких испытаний называется схемой Бернулли.

Будем далее рассматривать схему Бернулли, в которой вероятность наступления события А Р(А)=р. Поставим такую задачу: определить вероятность того, что в результате n независимых испытаний событие А наступит ровно m раз (очевидно, m £ n).

При этом совершенно не важно, в каких именно испытаниях наступает событие А: важно лишь то, чтобы общее число наступлений события А в серии из n испытаний было равно m. Ясно также, что не наступит событие А в (n–m) испытаниях. Обозначим искомую вероятность символом Р_n(m).

Заметим, что событие, состоящее в том, что некоторое простое событие (событие А) происходит m раз, а (n–m) раз не происходит, является сложным. Вероятность одного такого события, очевидно, равна p^m×q^n–m, где q=1–p – вероятность того, что событие А в единичном испытании не наступает. Но мы понимаем, что последовательность наступления событий А может быть различной. Сколько всего имеется сложных событий, при которых событие А наступит m раз и не наступит (n–m) раз? Очевидно, это число равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е. .

Так как все эти сложные события несовместны (наступление одного из них, т.е. появления события А в определенной последовательности, исключает возможность другого, в котором эта последовательность отличается), то искомая вероятность равна сумме вероятностей всех сложных событий. Но каждое сложное событие имеет одну и ту же вероятность, равную p^mq^n–m. Поэтому суммарная вероятность в раз больше:

P_n(m)= p^mq^n–m. (1.1.9.1)

Формула (1.1.9.1) носит название формулы Бернулли. Она имеет очень важное значение в теории вероятностей, т.к. связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, т.е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются вероятностные законы.

Пример 1. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз выпадет герб?

Решение.

Р₈(6)= p⁶q²= .

Пример 2. В каждом из 4 ящиков по 5 белых и 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?

Решение. Пусть А – появление белого шара. Вероятность этого события одинакова для каждого ящика (состав шаров в ящиках одинаков) и равна . Тогда – появление черного шара, вероятность этого события q=1–p= . По формуле Бернулли при n=4 имеем

Р₄(2)= p²q²= .