Биномиальное распределение. Рассмотрим схему Бернулли: нас интересует последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью р может произойти событие

Рассмотрим схему Бернулли: нас интересует последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью р может произойти событие А. Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в этой серии испытаний. Наша задача – найти закон распределения величины Х. Для этого мы должны ответить на два вопроса: 1) каково множество возможных значений Х? и 2) каковы их вероятности?

Очевидно, х₁=0, х₂=1, …, х_n+1=n, т.е. величина Х может принимать дискретные значения 0, 1, …, n. На второй вопрос ответ дает формула Бернулли:

Р_n(m)= p^mq^n–m, (1.2.2.1)

где m=0, 1, …, n.

Формула (1.2.2.1) и является аналитическим выражением, определяющим закон распределения. Этот закон носит название биномиального закона распределения. Название связано с формулой бинома Ньютона:

.

Биномиальный закон можно изобразить и в виде таблицы:

Х	N	n–1	…	m	…	0
Р	pn	npn–1q	…	pmqn–m	…	qn

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

Решение. Вероятность появления герба в одном бросании , вероятность того, что герб не появится, . При двух бросаниях герб может появиться либо 0, либо 1, либо 2 раза.

Вероятности этих значений подсчитаем по формуле Бернулли:

Р₁=Р₂(0)= q²=q²= ,

P₂=P₂(1)= pq=2× ,

P₃=P₂(2)= p²=p²= .

Как и следовало ожидать, Р₁+Р₂+Р₃=1. Таблица закона распределения имеет вид:

Х	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,25