Вероятности гипотез. Формула Байеса

Формула полной вероятности, которую мы только что получили и обсудили, позволяет вывести один важный результат, имеющий многочисленные приложения.

Пусть снова несовместные события В₁, В₂, …, В_n образуют полную группу событий для некоторого опыта (испытания). Событие А может наступить при условии появления одного из этих событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий В_i произойдет, будем называть их гипотезами. Вероятности гипотез Р(В_i) (i=1, …, n) нам известны. Эти вероятности заданы до испытания, и носят название априорных (от латинского a priori – из предшествующего), т.е. независимых от опыта. Условные вероятности наступления события А для каждой гипотезы также будем считать известными.

Теперь допустим, что испытание проведено и событие А появилось. Результат опыта, вообще говоря, должен изменить наше отношение к априорным вероятностям гипотез Р(В_i). Вполне закономерен вопрос: как изменились вероятности гипотез, если событие А уже наступило?

Речь идет, таким образом, о вычислении так называемых апостериорных вероятностей гипотез Р_А(В_i). Слово апостериорный означает "полученный на основании опыта, после опыта" (от латинского a posteriori – из последующего).

Найдем сначала условную вероятность Р_А(В_i). Для этого воспользуемся теоремой умножения в форме

Р(АВ_i)=Р(А)×Р_А(В_i)=Р(В_i)× ,

откуда

Р_А(В_i)= (1.1.8.1)

Р(А) найдем по формулу полной вероятности:

Р(А)= . (1.1.8.2)

Подставляя (1.1.8.2) в (1.1.8.1), получим

Р_А(В_i)= . (1.1.8.3)

Формула (1.8.3) называется формулой Байеса (названа по имени английского математика). Эта формула и позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания.

Нетрудно заметить, что сумма апостериорных вероятностей гипотез равна единице (знаменатель формулы (1.1.8.3) есть константа):

Ясно также, что некоторые априорные вероятности в результате испытания увеличились, а некоторые – уменьшились. Связано это с тем, что в результате испытания появилась некоторая информация, которая и позволяет переоценить априорные вероятности, заменив их апостериорными, вычисленными по формуле Байеса.

Пример. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Каждый из них изготовил половину всех деталей. Вероятность брака у них соответственно 0,01 и 0,1. Взятая из партии наугад деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее изготовил второй рабочий?

Решение.

Р(В₁)=Р(В₂)=0,5.

=0,01, =0,1

(А – деталь оказалась бракованной, В_i – гипотезы).

.