Теорема сложения вероятностей совместных событий

Для несовместных событий А и В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Как вычислить Р(А+В), если А и В – совместные события? Пример совместных событий: пусть А – появление четырех очков при бросании игральной кости, а В – появление четного числа очков.

Ответ на поставленный вопрос дает теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ). (1.1.6.12)

Доказательство.

	А
В
АВ

Т.к. А и В совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: А , В или АВ (см. рис.).

Поэтому

Р(А+В)=Р(А )+Р( В)+Р(АВ). (1.1.6.13)

Представим событие А как сумму двух несовместных событий:

А=А +АВ.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А)=Р(А )+Р(АВ).

Отсюда

Р(А )=Р(А)–Р(АВ). (*)

Аналогично

В= В+АВ,

Р(В)=Р( В)+Р(АВ),

Р( В)=Р(В)–Р(АВ). (**)

Подставляя (*) и (**) в (1.6.13), получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ),

что и требовалось доказать.

Замечание 1. События А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Для независимых событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)×Р(В). (1.1.6.14)

Для зависимых событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)×Р_А(В). (1.1.6.15)

Замечание 2. Если события несовместны, то Р(АВ)=0 и формула (1.1.6.12) принимает вид

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Мы получили теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Таким образом, формула (1.1.6.12) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий равны: р₁=0,7 и р₂=0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания при залпе двух орудий.

Решение. Пусть А – попадание из первого орудия, В – попадание из второго орудия. Эти события независимы, поэтому

Р(АВ)=Р(А)×Р(В)=0,7×0,8=0,56.

Тогда

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)=0,7+0,8–0,56=0,94.

Замечание. Т.к. А и В – независимые, эту задачу можно решить так:

Р=1–q₁q₂,

где q₁q₂=(1–p₁)×(1–p₂) – вероятность промаха из обоих орудий.

Тогда

Р=1–(1–0,7)×(1–0,8)=1–0,3×0,2=1–0,06=0,94.