![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для несовместных событий А и В
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Как вычислить Р(А+В), если А и В – совместные события? Пример совместных событий: пусть А – появление четырех очков при бросании игральной кости, а В – появление четного числа очков.
Ответ на поставленный вопрос дает теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ). (1.1.6.12)
Доказательство.
![]() | А ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
АВ | ![]() |
Т.к. А и В совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: А ,
В или АВ (см. рис.).
Поэтому
Р(А+В)=Р(А )+Р(
В)+Р(АВ). (1.1.6.13)
Представим событие А как сумму двух несовместных событий:
А=А +АВ.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий
Р(А)=Р(А )+Р(АВ).
Отсюда
Р(А )=Р(А)–Р(АВ). (*)
Аналогично
В= В+АВ,
Р(В)=Р( В)+Р(АВ),
Р( В)=Р(В)–Р(АВ). (**)
Подставляя (*) и (**) в (1.6.13), получим
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ),
что и требовалось доказать.
Замечание 1. События А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)×Р(В). (1.1.6.14)
Для зависимых событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А)×РА(В). (1.1.6.15)
Замечание 2. Если события несовместны, то Р(АВ)=0 и формула (1.1.6.12) принимает вид
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Мы получили теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Таким образом, формула (1.1.6.12) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий равны: р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания при залпе двух орудий.
Решение. Пусть А – попадание из первого орудия, В – попадание из второго орудия. Эти события независимы, поэтому
Р(АВ)=Р(А)×Р(В)=0,7×0,8=0,56.
Тогда
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)=0,7+0,8–0,56=0,94.
Замечание. Т.к. А и В – независимые, эту задачу можно решить так:
Р=1–q1q2,
где q1q2=(1–p1)×(1–p2) – вероятность промаха из обоих орудий.
Тогда
Р=1–(1–0,7)×(1–0,8)=1–0,3×0,2=1–0,06=0,94.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 475 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!