Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В)=Р(В). (1.1.6.8)

Вспомним, что

Р(АВ)=Р(А)×Р_А(В)=Р(В)×Р_В(А).

Если событие В не зависит от события А, то Р(А)×Р_А(В)=Р(А)×Р(В). Но это произведение равно Р(В)×Р_В(А), следовательно Р_В(А)=Р(А). Таким образом, если событие В не зависит от события А, то и А не зависит от В, т.е. свойство независимости событий обладает взаимностью.

Итак, для независимых событий

Р(АВ)=Р(А)×Р(В). (1.1.6.9)

Равенство (1.1.6.9) представляет собой теорему умножения вероятностей для независимых событий. Иногда эту формулу принимают за определение независимых событий: два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей их появления. В противном случае события называют зависимыми.

Пример 1. Найти вероятность совместного поражения мишени двумя стрелками, если вероятности ее поражения первым и вторым стрелком равны 0,9 и 0,8.

Решение. Событие А (поражение мишени первым стрелком) и событие В (поражение мишени вторым стрелком) – независимые события, поэтому

Р(АВ)=Р(А)×Р(В)=0,9×0,8=0,72.

Замечание. Если А и В – независимые события, то независимы также события А и , и В, и . Докажем первое из утверждений.

Событие А можно трактовать как сумму несовместных событий А и АВ:

А=А +АВ.

Тогда по теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(А )+Р(АВ).

Но Р(АВ)=Р(А)×Р(В), поэтому

Р(А )=Р(А)–Р(А)×Р(В)=Р(А)×(1–Р(В))=Р(А)×Р().

Остальные утверждения доказываются аналогично.