Зауваження

Може існувати розв’язок (інтеграл) диференціального рівняння, який неможливо одержати із загального розв’язку ні при якому значенні сталої . Такий розв’язок може бути особливим у тому розумінні, що в довільній його точці не виконується теорема Коші.

Наприклад, диференціальне рівняння

має загальний розв’язок і особливий.

Розглянемо:

.

Якщо , то

; .

Із рівності диференціалів маємо

– загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння, тут – довільна стала.

Розв’язок є особливим розв’язком диференціального рівняння тому, що у цьому випадку не виконується друга умова теореми Коші, оскільки

не існує при .

Тобто порушується друга умова – неперервність частинної похідної диференціального рівняння .

Знайти загальний розв’язок (інтеграл) диференціального рівняння – це значить його проінтегрувати.

Розглянемо інтегрування деяких диференціальних рівнянь.

Рівняння з відокремленими змінними

Рівнянням з відокремленими змінними називається рівняння вигляду

, (1.9)

де – неперервні функції при .

Загальним інтегралом цього рівняння буде

, (1.10)

де – довільна стала.

Приклад 1

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

це диференціальне рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його

– загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння,

Рівняння з відокремлюваними
змінними та ті, що до них приводяться

Рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду

, (1.11)

де – неперервні функції при .

Для інтегрування рівняння (1.11) необхідно розділити змінні. Ліву і праву частини рівняння помножимо на Причому вважаємо, що Тоді отримаємо

. (1.12)

(1.12) – це вже диференціальне рівняння з відокремленими змінними типу (1.9). Отже, його можна інтегрувати:

. (1.13)

(1.13) – загальний інтеграл рівняння (1.11).

При знаходженні загального інтегралу ми вважали, що . При цьому можлива втрата розв’язків, що визначаються рівняннями

та . (1.14)

Дійсно, якщо – розв’язок рівняння – підставити в (1.11), то одержимо

.

Отже, – розв’язок (1.11).

Аналогічно доводимо, що за умови також є розв’язком диференціального рівняння (1.11).

Якщо ці розв’язки не належать сімейству (1.13), тобто їх не можна отримати із загального інтеграла ні при яких значеннях сталої , то , можуть бути особливими розв’язками.

Із розв’язку ми вилучаємо точку , а із – точку тому, що одержуємо у цих випадках вироджене рівняння

.

Отже, розв’язки та можуть бути особливими для рівняння (1.11). Інших особливих розв’язків немає.

Приклад 2

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Для того щоб відокремити змінні, помножимо рівняння на . Одержимо рівняння з відокремленими змінними:

.

Тепер можна інтегрувати:

.

– загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

Оскільки і , то особливих розв’язків немає.

Диференціальне рівняння виду

(1.15)

за умови – неперервні функції своїх аргументів також є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Якщо вважати, що , то

,

(1.16)

приходимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруючи (1.16) приходимо до

(1.17)

загального інтегралу диференціального рівняння (1.15).

Залишається перевірити випадок щодо існування особливих розв’язків.

Приклад 3

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Запишемо рівняння у вигляді

.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Розділяємо змінні:

.

Одержали рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його:

,

,

або

– загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, тут .

Особливих розв’язків не існує, оскільки .

Диференціальне рівняння виду

(1.18)

якщо – дійсні відомі числа заміною

(1.19)