Завжди приводиться до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними

Дійсно,

маємо після підстановки в (1.18):

,

тобто

. (1.20)

Прийшли до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Звідси за умови

(1.21)

одержуємо:

. (1.22)

(1.22) – диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруючи його одержимо загальний інтеграл:

. (1.23)

Повертаючись до вихідної змінної приходимо до загального інтегралу вихідного диференціального рівняння (1.18).

Залишається розглянути випадок

, (1.24)

який може привести до особливих розв’язків.

Приклад 4

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Це диференціальне рівняння типу (1.18). Виконуємо заміну змінної (1.19), а саме

підставляємо у вихідне рівняння

.

Прийшли до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Розділяємо змінні

- це диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його:

,

тут .

Отже, повертаючись до вихідної змінної, маємо:

– загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

Особливих розв’язків тут не існує, оскільки .

Однорідні рівняння та ті, що зводяться до однорідних

Функція називається однорідною функцією - го виміру, якщо виконується рівність

(1.25)

для довільного дійсного значення .

Наприклад, – однорідна функція
4-го виміру, оскільки

.