Функция Грина для шара

Возьмем в качестве шар . Мы будем использовать идею симметрии, которая была использована в предыдущем параграфе, только уже относительно поверхности сферы .

Рассмотрим так называемое преобразование Кельвина (его часто называют также преобразованием инверсии) , действующее из внутренности шара в ее внешность по правилу . Стало быть, .

Теорема 53.1. Пусть − гармоническая функция в проколотом шаре . Тогда функция

(53.1)

является гармонической во внешности этого шара, т.е. при .

Доказательство. Ограничимся случаем . Перейдем к полярным координатам

Из определения преобразования Кельвина ясно, что угол не меняется, а меняется только длина радиус-вектора, т.е.

где . Запишем оператор Лапласа в полярных координатах:

.

Заметим, что

.

Отсюда

.

Следовательно, если , то , т.е. преобразование Кельвина переводит гармонические функции в гармонические. ■

Замечание 53.2. Для дальнейшего нам понадобится следующее наблюдение: из формул (44.2) и (44.3) явно видно, что для каждого натурального числа выполнено равенство .

Теорема 53.3. Функция

, (53.2)

где − фундаментальное решение оператора Лапласа, является функцией Грина для шара .

Доказательство.

Здесь . Точка получена преобразованием Кельвина из точки , . И, наконец, .

Нетрудно видеть, что функция удовлетворяет 1 и 3 свойствам функции Грина. Проверим условие 2, т.е. покажем, что при выполнено

=0. Рассмотрим 2 треугольника: и . Они подобны, т.к. угол у них общий и, кроме того, или , т.е. прилегающие к углу стороны пропорциональны. Из этого подобия получаем , следовательно, . Последнее означает , что и требовалось доказать. ■

Следствие 53.4. Решение краевой задачи

(53.3)

имеет вид

(53.4)

( формула Пуассона для шара).

Доказательство. Сохраняя все обозначения предыдущего доказательства, обратимся к рисунку

Для треугольника по теореме косинусов

.

Аналогично, для треугольника по теореме косинусов

.

Выразим из этих формул и и подставим в последнюю формулу. Получим

,

Что и требовалось доказать. ■

Теорема 53.5. (теорема Лиувилля) Если функция − гармоническая во всех точках и ограничена сверху или снизу, то .

Доказательство. Если функция − гармоническая и , то функция также гармонична и . Так что достаточно рассмотреть только один случай.

Пусть на всем . Можно считать, что (иначе рассмотрим функцию ). Пусть и . Т.к. функция является гармонической в шаре , то по формуле Пуассона (см. §14 и этот параграф):

. (53.5)

Т.к. , то . Отсюда и из формулы (53.5) получаем

.

По теореме о среднем арифметическом 16.1 из последней формулы получаем

.

Устремляя , приходим к формуле

.