Пространства Соболева

Пусть − открытое множество в и . Обозначим

.

В этом определении производная понимается как производная обобщенной функции, т.е.

При этом подразумевается, что является локально интегрируемой функцией, интегрируемой с квадратом для каждого мультииндекса . Пространство наделим скалярным произведением

(55.1)

и, значит, нормой

. (55.2)

Пространство мы будем называть пространством Соболева.

Теорема 55.1. Пространство Соболева является гильбертовым пространством.

Доказательство. Нетрудно понять, что формула (55.1) действительно является скалярным произведением на . Докажем его полноту. Пусть − фундаментальная последовательность в . Из определения нормы (55.2) следует, что последовательности производных будут фундаментальными в для каждого . Пространство является полным, поэтому

при , . (55.3)

Отсюда для любого . Если ограничиваться функциями , то получаем

(55.4)

при . При условие (55.3) приобретает вид , поэтому для любой функции . Обозначим , где . Получим , следовательно, для любого , т.е. при . Отсюда и из (55.4) заключаем, что . Этот факт вместе с (55.3) означает, что , что и требовалось доказать.