Теорема Соболева о следах

Для точки обозначим . Следовательно, . Рассмотрим гиперплоскость в , заданную уравнением . Мы уже видели в параграфе §57, что для функции из пространства Соболева имеет смысл рассматривать ее сужение . Следующая теорема описывает свойства этого сужения.

Теорема 62.1. (С.Л.Соболева о следах) Оператор сужения , заданный на пространстве , при продолжается до линейного ограниченного оператора .

Доказательство. Рассмотрим оператор сужения как оператор . Пусть, как обычно, является преобразованием Фурье в пространстве . Такое же преобразование, но уже в пространстве , обозначим через . Тогда

(62.1)

Положим , тогда

Применим к обеим частям последнего равенство преобразование Фурье, но уже в пространстве , которое обозначим . Тогда

(62.2)

Вся суть теорема заключается в следующем неравенстве

. (62.3)

Т.к. любую функцию в можно аппроксимировать элементами пространства , то при доказательстве неравенства (62.3) достаточно ограничиться случаем . В этом случае имеем

Используя формулу (62.2) и неравенство Гельдера, получим

Нам остается показать, что интеграл сходится. Имеем

=

(Сделаем замену )

,

т.к. . Что и требовалось доказать. ■

Замечание 62.2. Из доказанной теоремы можно вывести следующее утверждение:

Пусть − область в с гладкой границей и . Тогда оператор , заданный формулой , продолжается до линейного непрерывного оператора .