Теорема вложения Соболева

Напомним (теорема 33.11), что преобразование Фурье

является изометрией пространства на себя.

Лемма 61.1. Для каждого натурального существуют константы и , зависящие только от и такие, что

, (61.1)

Доказательство. Имеем . Очевидно также, что при . Объединяя эти два факта, приходим к неравенству , верного при любых и . Это доказывает правую часть неравенства (61.1). Его левая часть следует из формулы бинома Ньютона:

■

Теорема 61.2. тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Имеет место следующая цепочка эквивалентностей:

.

Поскольку , то в силу леммы 61.1 эту эквивалентность мы можем продолжить:

. ■

Замечание 61.3. Наделим пространство новой нормой

. (61.2)

Предыдущая теорема говорит о том, что эта норма на пространстве эквивалентна первоначальной ранее определенной нами норме. Введем теперь новое пространство для любого как множество всех функций на , для которых конечна норма

. (61.3)

Как при определении банахова пространства мы не будем различать функции, которые совпадают почти всюду (их разность имеет нулевую норму).

Для дальнейшего нам понадобится ввести в рассмотрение новое банахово пространство , состоящее из всех раз непрерывно дифференцируемых функций с нормой

.

Теорема 61.4. (Теорема вложения Соболева). Если , то имеет место вложение

,

причем оператор вложения непрерывен.

Замечание 61.5. Нужно объяснить: какой смысл несет термин «вложение» в данной теореме. Как следует из определения пространства и нормы в нем (см. формулу (61.3)), элементы этого пространства являются функции, которые можно как угодно менять на множестве меры 0. Таким способом любую функцию можно «испортить» так, чтобы она не была непрерывной или ограниченной. Более того, элементами пространства Соболева является классы эквивалентности – в один класс включают все попарно совпадающие почти всюду функции. Формулу надо читать следующим образом: для каждого элемента из существует ограниченная раз непрерывно дифференцируемая функция , которая совпадает с почти всюду.

Доказательство теоремы 61.4. Пусть , т.е. бесконечно дифференцируемая быстро убывающая на бесконечности функция. Мы знаем, что ее преобразование Фурье также принадлежит пространству . Отсюда и из формулы (61.3) следует, что функция принадлежит пространству . Это рассуждение позволяет нам написать включение .

Очевидно так же включение . Рассмотрим теперь тождественный оператор для . Его можно рассматривать как оператор из части пространства в пространство . Докажем, что существует константа , для которой верно неравенство

. (61.4)

В самом деле, имеем

.

Отсюда

.

Далее используем неравенство (61.1) и неравенство Гельдера

Для доказательства формулы (61.4) нам осталось установить, что интеграл сходится. Покажем это. По условию теоремы . Введем число правилом . Тогда

.

Т.к. , то интеграл сходится, что и требовалось.

Докажем теперь, что произвольную функцию можно как угодно близко аппроксимировать функциями из по норме пространства . Рассмотрим оператор . По теореме 61.2 этот оператор является изометрическим изоморфизмом (т.е. сохраняет норму) пространства на пространство . Множитель растет при не быстрее многочлена степени , где − наименьшее четное натуральное число, . По определению пространства оператор переводит это пространство на себя. По теореме 20.3 любая функция в пространстве может быть аппроксимирована основными функциями. Применяя оператор , мы приходим к выводу, что любую функцию в пространстве можно аппроксимировать последовательностью функций из пространства . Сходящаяся последовательность является фундаментальной. Отсюда и из неравенства (61.4) приходим к выводу, что является фундаментальной по норме . Т.к. пространство полно, то последовательность сходится к некоторой функции из этого пространства. Следовательно, последовательность сходится к пределам и , но по разным нормам. По крайней мере, и совпадают как обобщенные функции, следовательно, по лемме дю Буа-Реймона они совпадают почти всюду. ■