Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Мы видели в предыдущем параграфе, что классическая задача Коши сводится к уравнению (47.3) в пространстве обобщенных функций, причем согласно формуле (47.4) правая часть имеет вид:
.
Поскольку уравнение теплопроводности является линейным уравнением, то уравнение (47.3), т.е.
можно разбить на два уравнения:
, (48.1)
. (48.2)
Решения этих уравнений называются тепловыми потенциалами. Ясно, общее решение является их суммой.
Определение 48.1. Функция вида , где является регулярной обобщенной функцией и при , называется объемным тепловым потенциалом.
Теорема 48.2. Пусть − локально интегрируемая функций, которая равна 0 при и является ограниченной на множестве для каждого .
Тогда функция существует и является локально интегрируемой функцией, ограниченной на каждой полосе вида и удовлетворяет следующим условиям:
, (48.3)
, (48.4)
при . (48.5)
Замечание 48.3. Если потребовать, чтобы , то .
Доказательство. По условию − локально интегрируемая функция. Кроме того, мы знаем, что функция также является локально интегрируемой функцией (см. §41). Значит, их свертка может быть записана в виде
Если подставить в последнюю формулу явный вид для фундаментального решения , то получим формулу (48.3). Учитывая, что функция неотрицательна и интеграл от нее по по всему равен 1, получаем
т.е. формулу (48.4). Теперь пусть . По условию − величина конечная, следовательно, из неравенства (48.4) получаем , т.е. условие (48.5).
Заметим также, что при , поскольку подобным свойством обладают функции и . Из неравенства (48.5) следует при . ■
Определение 48.4. Функция вида , где является регулярной обобщенной функцией, называется поверхностным тепловым потенциалом.
Теорема 48.5. Пусть функция ограничена и измерима на . Тогда
, (48.6)
. (48.7)
Если функция непрерывна, то и выполнено
. (48.8)
Доказательство. Введем функцию . Очевидно, что при . Имеем
,
что доказывает неравенство (48.7). Из него следует, что − ограниченная функция, следовательно, она является измеримой и локально интегрируемой. Формула (48.6) получается из определения свертки и вида фундаментального решения оператора теплопроводности.
Допустим теперь, что − непрерывная функция. Тогда
.
Зафиксируем теперь точку . Поскольку − непрерывная функция, то для , следовательно,
.
Первый интеграл не превосходит 1. Если во втором интеграле сделаем замену , , то
Очевидно, что , следовательно, если , то . ■
Подведем теперь итог.
Теорема 48.6. Пусть функции и непрерывны и ограничены для всех и . Решение классической задачи Коши
существует, единственно и может быть записано в виде суммы двух потенциалов:
. (48.9)
■
Теорема 48.7. Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности является корректно поставленной задачей, т.е. «малое» изменение правой части и начальных условий приводит к малому изменению решений.
Доказательство. Рассмотрим новую задачу Коши, в которой правая часть является функцией и начальное условие − функцией , причем пусть
,
.
Тогда из формул (48.4) и (48.7) и (48.9) следует
,
Что и требовалось доказать.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 938 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!