Метод функции Грина

В §14 мы доказали, что для ограниченной области и функции имеет место формула

. (50.1)

В общем виде мы можем переписать эту формулу в виде

, (50.2)

где − фундаментальное решение оператора Лапласа, действующего на функции с независимыми переменными.

Рассмотрим теперь следующую краевую задачу (она называется задачей Дирихле):

(50.3)

С помощью формулы (50.2) получаем

. (50.4)

Можем сказать, что функция, заданная формулой (50.4) является решение задачи Дирихле (50.3).

Этой формулой пользоваться, однако, затруднительно, так как в постановке задачи (50.3) явным образом не указано поведение производной на границе . Идея метода Грина состоит в том, что мы заменяем функцию на некоторую другую функцию , которая называется функцией Грина. Функция отличается от на некоторую гармоническую функцию , которая подбирается таким образом, чтобы в аналоге формулы (50.4) было не три интеграла, а два, причем отсутствовал интеграл, содержащий производную .

Определение 50.1. Функцией Грина для оператора Лапласа называется функция двух переменных , где − ограниченная область, если выполнены условия:

1. является гармонической функцией в области по переменной и

;

1. ;
2. , где − фундаментальное решение оператора Лапласа и − регулярная и гармоническая функция по переменной , т.е. .

Предложение 50.2. Кроме перечисленных свойств для функции Грина автоматически выполняется также следующее свойство:

4. .

Доказательство. Пусть − область. Возьмем точки и в этой области и окружим эти точки шарами радиуса . Выбираем настолько малым, что .

Обозначим и воспользуемся формулой Грина:

. (50.5)

В этой формуле положим и . Заметим, что и согласно свойству 1 функции Грина. Следовательно, левая часть формулы (50.5) равна нулю. По свойству 2 и . Поэтому в правой части формулы (50.5) остается только интеграл по границам окрестностей и в точках и. , т.е. по сферам и . Суммируя сказанное, мы приходим к формуле

. (50.6)

Т.о., мы приходим к следующему равенству:

. (50.7)

Найдем предел левой части при . По свойству 3 , подставим вместо это выражение. Заметим, что , так как по условию является гармонической и потому непрерывной функцией, а функция непрерывна во всех точка шара . Кроме того, т.к. непрерывная функция на компакте ограничена, то существует константа такая, что .

Следовательно (ограничиваемся случаем , иные размерности рассматриваются аналогично),

.

В левой части формулы (50.7) первый интеграл стремится к нулю:

при ,

рассмотрим второй интеграл. Имеем

.

Так как функция непрерывна, а функция − гармоническая (следовательно, имеет непрерывную производную ), то второй интеграл в последнем выражении будут стремиться к нулю при . Далее заметим, что

, где вектор − нормаль, направленная внутрь шара по радиусу к его центру. Следовательно,

.

Так как функция на сфере непрерывна, то можно воспользоваться теоремой о среднем:

,

где − некоторая точка на сфере . Тогда

при .

В итоге левая часть формулы (50.7) при стремится к . Аналогично доказывается, что правая часть этой формулы при стремится к .

■

Теорема 50.3. Пусть − ограниченная область, и . Тогда решение задачи Дирихле (50.3) может быть найдено по формуле:

, (50.8)

где − функция Грина для оператора Лапласа.

Доказательство. Пусть − функция Грина для оператора Лапласа. Из свойств 2 и 3 этой функции следует, что

(50.9)

Воспользуемся формулой Грина: . Возьмем , . Тогда эта формула Грина перепишется в виде:

. (50.10)

Возьмем формулу (50.2) и (50.10) и отдельно сложим правые части и левые.

Тогда Осталось заметить, что последний интеграл в этой формуле равен 0 ввиду формулы (50.9).

■

Замечание 50.4. Построение функции Грина сводится к решению задачи

(50.11)

Теорема 50.5. Если функция Грина существует, то она единственна.

Доказательство. Допустим, что в области существуют две функции Грина:

Тогда их разность, т.е. функция , будет функцией, гармонической внутри области и непрерывной на ее замыкании , причем на границе эта функция тождественно равна 0. По следствию 13.3 всюду в области . Отсюда сразу получаем, что .

■

Теорема 50.6. Функция Грина для области является неположительной во всех ее точках.

Доказательство. Нам известно, что функция стремится к при (например, при ). Функция − гармоническая, в частности, непрерывная функция. Следовательно, при . Для точки найдется сфера достаточно малого радиуса, на которой , где . По свойству 2 функции Грина на границе . Функция является гармонической в области как разность двух гармонических функций, значит для нее выполнен принцип максимума (минимума). Следовательно, функция принимает неположительные значения во всех точках области . Устремляя к нулю, приходим к нужному заключению.