![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В §14 мы доказали, что для ограниченной области и функции
имеет место формула
. (50.1)
В общем виде мы можем переписать эту формулу в виде
, (50.2)
где − фундаментальное решение оператора Лапласа, действующего на функции с
независимыми переменными.
Рассмотрим теперь следующую краевую задачу (она называется задачей Дирихле):
(50.3)
С помощью формулы (50.2) получаем
. (50.4)
Можем сказать, что функция, заданная формулой (50.4) является решение задачи Дирихле (50.3).
Этой формулой пользоваться, однако, затруднительно, так как в постановке задачи (50.3) явным образом не указано поведение производной на границе
. Идея метода Грина состоит в том, что мы заменяем функцию
на некоторую другую функцию
, которая называется функцией Грина. Функция
отличается от
на некоторую гармоническую функцию
, которая подбирается таким образом, чтобы в аналоге формулы (50.4) было не три интеграла, а два, причем отсутствовал интеграл, содержащий производную
.
Определение 50.1. Функцией Грина для оператора Лапласа называется функция двух переменных
, где
− ограниченная область, если выполнены условия:
;
Предложение 50.2. Кроме перечисленных свойств для функции Грина автоматически выполняется также следующее свойство:
4. .
Доказательство. Пусть − область. Возьмем точки
и
в этой области и окружим эти точки шарами радиуса
. Выбираем
настолько малым, что
.
Обозначим и воспользуемся формулой Грина:
. (50.5)
В этой формуле положим и
. Заметим, что
и
согласно свойству 1 функции Грина. Следовательно, левая часть формулы (50.5) равна нулю. По свойству 2
и
. Поэтому в правой части формулы (50.5) остается только интеграл по границам окрестностей
и
в точках
и.
, т.е. по сферам
и
. Суммируя сказанное, мы приходим к формуле
. (50.6)
Т.о., мы приходим к следующему равенству:
. (50.7)
Найдем предел левой части при . По свойству 3
, подставим вместо
это выражение. Заметим, что
, так как по условию
является гармонической и потому непрерывной функцией, а функция
непрерывна во всех точка шара
. Кроме того, т.к. непрерывная функция на компакте ограничена, то существует константа
такая, что
.
Следовательно (ограничиваемся случаем , иные размерности рассматриваются аналогично),
.
В левой части формулы (50.7) первый интеграл стремится к нулю:
при
,
рассмотрим второй интеграл. Имеем
.
Так как функция непрерывна, а функция
− гармоническая (следовательно, имеет непрерывную производную
), то второй интеграл в последнем выражении будут стремиться к нулю при
. Далее заметим, что
, где вектор
− нормаль, направленная внутрь шара по радиусу
к его центру. Следовательно,
.
Так как функция на сфере
непрерывна, то можно воспользоваться теоремой о среднем:
,
где − некоторая точка на сфере
. Тогда
при
.
В итоге левая часть формулы (50.7) при стремится к
. Аналогично доказывается, что правая часть этой формулы при
стремится к
.
■
Теорема 50.3. Пусть − ограниченная область,
и
. Тогда решение задачи Дирихле (50.3) может быть найдено по формуле:
, (50.8)
где − функция Грина для оператора Лапласа.
Доказательство. Пусть − функция Грина для оператора Лапласа. Из свойств 2 и 3 этой функции следует, что
(50.9)
Воспользуемся формулой Грина: . Возьмем
,
. Тогда эта формула Грина перепишется в виде:
. (50.10)
Возьмем формулу (50.2) и (50.10) и отдельно сложим правые части и левые.
Тогда Осталось заметить, что последний интеграл в этой формуле равен 0 ввиду формулы (50.9).
■
Замечание 50.4. Построение функции Грина сводится к решению задачи
(50.11)
Теорема 50.5. Если функция Грина существует, то она единственна.
Доказательство. Допустим, что в области существуют две функции Грина:
Тогда их разность, т.е. функция , будет функцией, гармонической внутри области
и непрерывной на ее замыкании
, причем на границе
эта функция тождественно равна 0. По следствию 13.3
всюду в области
. Отсюда сразу получаем, что
.
■
Теорема 50.6. Функция Грина для области является неположительной во всех ее точках.
Доказательство. Нам известно, что функция стремится к
при
(например, при
). Функция
− гармоническая, в частности, непрерывная функция. Следовательно,
при
. Для точки
найдется сфера
достаточно малого радиуса, на которой
, где
. По свойству 2 функции Грина
на границе
. Функция
является гармонической в области
как разность двух гармонических функций, значит для нее выполнен принцип максимума (минимума). Следовательно, функция
принимает неположительные значения во всех точках области
. Устремляя
к нулю, приходим к нужному заключению.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 973 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!