След функции

Пусть − область в . Обозначим − сечение этой области гиперплоскостью. Заметим, что лебегова мера множества равна нулю. Поскольку норма в пространстве Соболева определена как интегральная норма, то любой элемент определен лишь почти всюду, поэтому сужение вообще говоря не определено. Этот факт является препятствием к формулированию краевых задач Дирихле и Неймана на языке обобщенных функций. Здесь мы покажем, как эту трудность можно обойти. Рассмотрим оператор

, заданный формулой . Легко понять, что этот оператор является линейным и непрерывным.

Лемма 57.1. Если последовательность является фундаментальной по норме пространства , то последовательность фундаментальна по норме пространства .

Доказательство. Пусть . По формуле Ньютона-Лейбница . Подставляя , приходим к выводу, что . Возведем в квадрат обе части этого равенства и применим неравенство Гельдера:

.

Проинтегрируем последнее неравенство по всем переменным:

.

Иначе это неравенство можно переписать в виде

. (57.1)

Подставим вместо в последнее неравенство:

,

откуда сразу следует утверждение леммы. ■

Из этого утверждения сразу следует

Теорема 57.2. Линейный оператор , заданный формулой , продолжается до линейного непрерывного оператора . ■

Доказательство. По определению 56.2 пространство является замыканием своего подпространства и для произвольной точки найдется последовательность , которая к ней сходится по норме этого пространства. Сходящаяся последовательность всегда является фундаментальной. По теореме 57.1 будет фундаментальной в банаховом пространстве . Поэтому будет сходиться к некоторому элементу, который обозначим . Легко видеть, что оператор является линейным. Его ограниченность следует из (57.1). ■

Теорема 57.3. След функции на гиперплоскость непрерывно зависит от .

Доказательство. Рассмотрим смещение по первой координате. Тогда

.

Возведем обе части последнего равенства в квадрат

и затем проинтегрируем

.

Т.о. при получаем , ч.т.д. ■

Замечание 57.4. Вместо гиперплоскости мы можем рассматривать любую достаточно гладкую гиперповерхность. Мы имеем в виду следующее. Пусть гиперповерхность в задана уравнением

. (57.2)

Будем считать, что функция непрерывно дифференцируема и . Тогда замена координат

будет невырожденной и переводит гиперповерхность (57.2) в гиперплоскость .

§56. Неравенство Фридрихса и пространство

Рассмотрим пространство . Скалярное произведение на этом пространстве можно записать в виде

,

где

,

.

Каждое из этих произведений определяет норму:

,

.

Ясно, что .

Теорема 56.1. (Неравенство Фридрихса). Пусть − ограниченная область в , и . Тогда имеет место неравенство:

, (56.1)

где константа зависит только от .

Доказательство. Т.к. область ограничена, то она содержится в некотором кубе: . Будем считать, что вне . По формуле Ньютона-Лейбница

.

Точка , у которой , лежит вне , поэтому . Отсюда . Используя неравенство Гельдера, получаем

.

Следовательно,

Что и требовалось доказать. ■

Определение 56.2. Пусть − открытое множество в . Определим пространство равным замыканию пространства основных функций в пространстве относительно его нормы.

Прямым следствием теоремы 56.1 является следующее утверждение.

Теорема 56.3. Для ограниченной области в на пространстве нормы и являются эквивалентными.

Доказательство. По определению . С другой стороны, применяя неравенство Фридрихса,

.