Точки перегиба графика функции

Определение 2. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервалах и функция имеет разные направления выпуклости, т.е. на одном из них она выпукла, а на другом, напротив, вогнута, то точка ее графика называется точкой перегиба.

Таким образом, можно сказать, что при переходе через точку перегиба график функции как бы переходит с одной стороны касательной в этой точке на другую ее сторону.

Если точка является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции , то в соответствии с определением 2 и теоремой 1, а также ее аналогом для вогнутых функций, точка – точка локального экстремума производной и поэтому по теореме Ферма .

Таким образом, условие (10) является необходимым для того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .

В свою очередь, в силу определения 3 и следствия из теоремы 2, а также его аналога для вогнутых функций, если на некотором интервале слева от точки вторая производная имеет один знак, а на соответствующем интервале справа от этой точки она имеет другой знак, то этого достаточно для того, чтобы точка была точкой перегиба.