Сведением к двойному интегралу

Теорема 2. Пусть s - гладкая, двусторонняя поверхность, заданная параметрическим уравнением (5): Пусть выбрана положительная сторона поверхности , которая задается вектором нормали (24): , где A, B, C определены формулами (16). Пусть P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - непрерывные на (s) функции.

Тогда справедливо равенство:

(53)

Замечание 5. В правой части равенства (53) стоит двойной интеграл по области D от функции двух переменных u, v.

Замечание 6. Если будет выбрана отрицательная сторона поверхности , которая определена в каждой точке вектором нормали по формулам (25) и (16): - N = {- A,-B, -C }, то поверхностный интеграл II рода общего вида сводится к двойному интегралу по области D с противоположным знаком:

(54)

Равенство (54) подтверждает свойство поверхностных интегралов II рода (50) - (52).

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 2 поверхность (s) задана явным уравнением (2): где проекция поверхности (s) на плоскость XY (рис. 1). Положительная сторона этой поверхности определяется вектором нормали по формуле (18), а отрицательная сторона определяется вектором нормали по формуле (19).

Тогда

(55)

и

(56)

Следствие 2. Пусть в теореме 2 поверхность (s) задана явным уравнением (3): где - проекция (s) на плоскость XZ (рис. 3.2). Положительная сторона этой поверхности , определяется вектором нормали по формуле (20), а отрицательная сторона определяется вектором нормали () по формуле (21).

Тогда

(57)

и

(58)

Следствие 3. Пусть в теореме 2 поверхность (s) задана явным уравнением (4): где проекция (s) на плоскость YZ (рис.3). Положительная сторона этой поверхности определяется в каждой точке вектором нормали по формуле (22), а отрицательная сторона определяется вектором нормали по формуле (23).

Тогда

(59)

и

(60)

Замечание 7. Пусть двусторонняя гладкая поверхность (s) такая, что ее можно задать явными уравнениями сразу трех видов (2), (3) и (4). Тогда поверхностные интегралы II рода, определенные формулами (46), (47) и (48) сводятся к двойным интегралам вида

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

Формулы (61) - (66) легко доказать, используя формулы (55) - (60). Например, формула (61) следует из формулы (55), где P (x,y,z)=0 и Q (x,y,z)=0 на поверхности (s).

Тогда поверхностный интеграл II рода общего вида по этой поверхности (s), согласно определению (49) сводится к сумме интегралов:

(67)

В правой части формулы (67) знак «+» соответствует , а знак «-» соответствует .

Вывод. Таким образом, чтобы поверхностный интеграл II рода по выбранной стороне поверхности свести к двойному интегралу, нужно знать уравнение поверхности и координаты вектора нормали, задающего выбранную сторону поверхности в каждой ее точке.