Ориентация поверхностей. Поверхностный интеграл 2-го рода. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному интегралу

Рассмотрим кусок гладкой поверхности , определяемый векторным уравнением

, (1)

где функции - непрерывно дифференцируемые на замыкании области с кусочно-гладкой границей и

. (2)

Как всегда, мы предполагаем, что имеет место взаимно однозначное соответствие между точками и точками .

Единичная нормаль в произвольной точке определяется по формуле

. (3)

Знаку «+» соответствует одна сторона поверхности со щеткой выпущенных в ее сторону единичных нормальных векторов, непрерывно зависящих от , а знаку «-» - другая сторона .

Дадим определение. Если из каждой точки гладкой поверхности можно выпустить единичную нормаль так, что полученная векторная функция от будет непрерывной на всей поверхности , то называется ориентируемой поверхностью.

Функцию называют еще непрерывным полем нормалей.

Поверхность, для которой определена такая функция , называется ориентированной при помощи . Если мы говорим, что есть ориентированная поверхность, то тем самым считаем, что обозначает не только поверхность (множество точек), но и тот факт, что на ней задана указанная непрерывная на функция . Говорят еще, что задает определенную сторону ориентированной гладкой поверхности (куда выходит из щетка единичных векторов , непрерывно зависящих от ).

Ту же поверхность, но ориентированную противоположным образом (щеткой единичных нормальных векторов, идущих в противоположном направлении) надо уже обозначать другой буквой. Две такие противоположно ориентированные поверхности удобно обозначать буквами и . Одна из них произвольно обозначается через , а другая автоматически получает обозначение .

Простейшим примером ориентируемой поверхности является плоскость . Единичные векторы, перпендикулярные плоскости и идущие в положительном направлении оси , определяют одну сторону плоскости, а векторы, идущие в отрицательном направлении оси , - другую сторону плоскости .

Рис. 88

Поверхность эллипсоида также ориентируема - выпущенный из какой-либо ее точки единичный вектор нормали во внешность эллипсоида, очевидно, непрерывно продолжается (однозначно!) на всю поверхность.

Этим поверхность ориентирована (определена внешняя сторона эллипсоида).

Другая, противоположная, ориентация этой поверхности определяется единичным нормальным к ней вектором, идущим внутрь эллипсоида (внутренняя сторона эллипсоида).

Выше мы видели, что если есть гладкая поверхность, определенная параметрическими уравнениями (1) с указанными там свойствами, то она ориентируема. Знаку «+» в формуле (3) соответствует определенная ориентация , а знаку «-» будет тогда соответствовать противоположная ориентация.

Вообще же существуют гладкие поверхности не ориентируемые.

Если прямоугольный лист (рис. 88) перекрутить один раз и его стороны склеить так, чтобы точки и склеились попарно, то получим не ориентируемую поверхность (рис. 89), называемую листом Мёбиуса.

На рис. 88 отмечен отрезок - средняя линия прямоугольного листа бумаги. Этой линии на листе Мёбиуса соответствует замкнутая кривая , у которой точки и слились в одну точку. Выпустим из единичную нормаль произвольным, по определенным образом. Раз направление выбрано (среди двух возможных), то этим уже детерминировано определяется выбор для всех точек , если мы хотим, чтобы вектор зависел от непрерывно. Однако в точке вектор уже выбран, - ведь и совпадают. Легко видеть, что если точку средней линии прямоугольника непрерывно двигать от к , то единичная нормаль , где - точка листа Мёбиуса будет стремиться к - , а не к и, следовательно, вектор-функция оказывается разрывной в точке . Итак, лист Мёбиуса неориентируем.

Поверзностный интеграл 2 рода.
Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x (u,v), y (u,v), z (u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D (u,v), и что ранг матрицы

равен 2.

Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора:

Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.

Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z (x,y), где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм:

• Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k -компонент вектора нормали является положительным), то

• Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k -компонент вектора нормали является отрицательным), то

Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно

Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде

Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:

Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид

где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D (u,v).

Рис.1

Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.