Производная. Ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Уравнение касательной: y=f(x₀)+f ’(x₀) * (x – x₀)

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

№65. Теорема о непрерывности дифференцируемой ф-ции. Пример непрерывной, но недифференцируемой ф-ции.

Если ф-ция у=f(х) имеет производную в точке х= x_o, т.е. если сущ. предел отношения lim_∆хŠ0^∆у/_∆х= lim_∆хŠ0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х, то ф-ция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х_о. Теорема: если ф-ция у=f(х) дифференцируема в точке х= x_o,то она непрерывна в точке х_о. Док-во: по усл.$ lim_∆хŠ0^∆у/_∆х=f'(x_о)=> ^∆у/_∆х=f'(x_о)+α(∆х), где f'(x_о)Š0 при ∆хŠ0=>∆у=f'(x_о)*∆х+α(∆х)*∆х=>,что если ∆хŠ0, то ∆уŠ0. А это по опр.означает, что ф-ция у=f(x) непрерывна в точке х_о. Обратное утверждение не верно, т.е. если ф-ция непрерывна в точке х_о, то отсюда не следует, что она дифференцируема в этой точке. Пусть f(x)={x,0≤x≤1; 2x-1, 1≤x≤2. Эта ф-ция при х=1 не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Пусть ∆х>0. lim_∆хŠ0^∆у/_∆х=lim_∆хŠ0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆хŠ0^{2(1+∆x)-1-1)}/_∆х= lim_∆хŠ0^2∆x/_∆х=2.Пусть ∆х<0. lim_∆хŠ0^∆у/_∆х=lim_∆хŠ0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆хŠ0^1+∆x-1)/_∆х= lim_∆хŠ0^∆x/_∆х=1, т.е. рассматриваемый предел зависит от того каков знак ∆х. А это означает, что в точке х=1 ф-ция f(x) производной не имеет. С другой стороны эта ф-ция непрерывна в точке х=1. Если ∆х>0,то ∆у=2∆х, а если ∆х<0,то ∆у=∆х=>при ∆хŠ0, ∆уŠ0, т.е. у=f(x) непрерывна в х=1. из теоремы следует, что в точках разрыва ф-ция не может иметь производной.

Примеры вычисления производной.: 1)степенная ф-ция у=х^α,αÎR,x>0. Дадим аргументу х приращение ∆х и получим х+∆х. ∆у=у(х+∆х)-у(х)=(х+∆х)^α-х^α=х^α(1+^∆х/_х)^α-х^α= х^α((1+^∆х/_х)^α-1). у'=lim_∆хŠ0^∆у/_∆х=lim_∆хŠ0(х^α(1+^∆х/_х)^α-1)/_∆х= х^αlim_∆хŠ0^α*∆х/х/_∆х= х^αlim_∆хŠ0^α/_х=α*х^α-1. (х^α)'=α*х^α-1. -эта формула верна для любого х из области опр.ф-ции. (х)'=1(α=1); (¹/_х)'=-¹/х²(α=-1); (√х)'=¹/_2√х(α=½)