Односторонние пределы

Если у любой сходящейся к точке x₀ последовательности {x_n} все ее элементы меньше x₀, а соответствующая последовательность сходится к A₁, то число A₁ называется левым пределом функции f(x).

Обозначение: .

Если у любой сходящейся к последовательности все ее элементы больше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется правым пределом функции f(x):

Обозначение: .

№58. Три определения непрерывности ф-ции в точке. Классификация точек разрыва.

Ф-ция у=f(х) назыв.непрерывной на интервале (а;b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Опр. lim_xŠa+0f(x)=f(a), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке а справа. lim_xŠb-0f(x)=f(b), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке b слева. Опр: ф-ция у=f(х) назыв. непр.на отрезке [a;b] если она непрерывна в каждой точке интервала (а;b), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b. Если в какой-то точке х_о для ф-ции у=f(х) не выполняется хотя бы одно условие непрерывности, то ф-ция у=f(х) разрывна в точке х_о. В этом случае точка х_о называется точкой разрыва для ф-ции у=f(х). Существуют три вида точек разрыва.

1) если существует предел lim_xŠхоf(x)=a, но он не равен значению ф-ции в точке х_о, тогда точка х_о – точка устранимого разрыва.

2) если существует предел ф-ции f(x) при х стремящемся от х_о справа,т.е. lim_xŠхо+0f(x)=f(x_o+0). Существует предел ф-ции f(x) при хŠх_о слева, т.е. lim_xŠхо-0f(x)=f(x_o-0), но они не равны между собой f(x_o+0)≠f(x_o-0), то х_о-точка разрыва 1-го рода (точка скачка). Разность f(x_o+0)-f(x_o-0)-величина скачка в точке х_о, т.е. всегда от правостороннего отнимается левосторонний.

3) если хотя бы один из односторонних пределов в точке х_о не сущ. или равен ∞, то точка х_о называется точкой разрыва второго рода. $ lim_xŠхо-0f(x)=a; lim_xŠхо+0f(x)=+∞. Примеры 3)-_{(продолжение)} у=^х/_|х|, х≠0 lim_хŠ0+ ^х/_|х|= lim_хŠ0 ^х/_х=1 и lim_хŠ0- ^х/_|х|= lim_хŠ0 ^х/_-х=-1 => по определению, что точка х=0 – точка разрыва 1-го рода.

№59. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных ф-ций. Непрерывность сложной ф-ции.

Пусть ф-ция у=f(x) задана в некоторой точке хо и некоторой окрестности с центром в точке хо. (см.рис.1.). Придадим аргументу хо некоторое приращение ∆х, т.е. хо+∆х=х, тогда значение ф-ции также изменится. Пусть f(хо)=у. Положим f(хо+∆х)=уо+∆у, тогда ∆у=f(хо+∆х)- f(хо)-приращение ф-ции в точке хо. Опр.:ф-ция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если бесконечно малому приращению аргумента точке хо соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в этой точки,т.е. lim∆х0∆у=0 или lim∆х0(f(хо+∆х)- f(хо))=0 или lim∆х0 f(хо+∆х)= f(хо) или limххо f(x)=f(хо) (*),где limххо x=хо. из (*)=>limххо f(x)=f(limххох), т.е. для того чтобы найти предел непрерывной ф-ции в точке хо достаточно подставить в выражение ф-ции вместо аргумента х его значение хо. Пример: докажем: ф-ция у=х2 – непрерывна для любого хо. 1)Возьмём хо. хо=хо+∆х, тогда ф-ция получит приращение ∆у=у(хо+∆х)- у(хо)=(хо+∆х)2-хо2= хо2+2хо*∆х+(∆х)2-хо2=2хо*∆х+(∆х)2. lim∆х0 ∆у= lim∆х0(2хо*∆х+(∆х)2)=0, а это по опр.и означает, что ф-ция y=х2 –непрерывна в любой точке хо.

2)у=sinx, хоR. ∆у=sin(хо+∆х)-sinхо=2sin∆х/2*cos(хо+∆х/2); lim∆х0∆у= lim∆х02sin∆х/2*cos(хо+∆х/2)=0. Аналогично рассматривая каждую осн.элементарную ф-цию можно доказать, что каждая осн.элемент.ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Теорема1. f1(x) и f2(x) непрерывна в х=хо. α(х)=f1(x)+f2(x) непрерывна в ххо. Док-во: f1(x) непр.в хо=> limххоf1(x)=f1(xо); f2(x) непр.в хо=> limххоf2(x)=f2(xо); limххоα(х)= limххо(f1(x)+f2(x))= limххоf1(x)+limххоf2(x)= f1(xо)+f2(xо)=α(хо)=>α(х)-непрерывна. Аналогично можно доказать:

1)произведение 2-х непрерывных ф-ций – есть ф-ция непрерывна.

2)частное 2-х непрерывных ф-ций есть ф-ция непрерывная, если знаменатель в рассмотренной точке не равен 0.

3)если ф-ция U=α(x) непрерывна в точке х=хо, а ф-ция f(U) непрерывна в точке U=Uo=α(xo),то сложная ф-ция f[α(x)] будет непрерывна в точке хо. Используя эти теоремы можно доказать теорему2. Можно доказать, что всякая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.