Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Производная логарифмической функции. Производная степенной и показательной функций



А)Производная от logax, равна или . Если ∆y есть приращение функции y=logax, соответствующее приращению ∆x аргумента x, то y+∆y=loga(x+∆x); ∆y=loga(x+∆x)-logax= . Помножим и разделим на x выражение, состоящее в правой части последнего равенства . Обозначим величину через α. Очевидно, при и данном x. Следовательно, , но как известно . Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числе e, то логарифм этого выражения стремится к logae (в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем: . Заметив, что , полученную формулу можно переписать так:.

Б) Производная от (показательная функция) функции ax, где а > 0, равна axlna, т.е. y=ax, равна y’=axlna. Логарифмируя равенство y=ax, получим: lny=xlna или y’=axlna. Если оснавание а=е, то lne=1 и мы получим y=ex, y’=ex.

№70. Производные обратных тригонометрических функций.

1)Рассмотрим ф-цию y=arcsinx;-1≤x≤1.Обратной этой ф-ции явл. x=siny (-π/2≤y≤π/2) Причём производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=cosy;≠0;для любого у из(-π/2;π/2) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=1/cosy=1/cos(arcsinx)=1/√(1-sin²(arcsinx))=1/√(1-x²) (arcsinx)’=1/√(1-x²) Аналогично ( arccosx)’= -1/√(1-x²) xε(-1;1) 2)y=arctgx x xε(-∞;∞)Обратная x=tgy -π/2≤y≤π/2 Производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=1/cos²y≠0 для любого у ε(-π/2;π/2)) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=cos²y=cos²(arctgx)=1/1+tg²(arctgx)=1/1+x² (arctgx)’=1/1+x² xε(-∞;∞) Аналогично (arсctgx)’= -1/1+x²) (с графиками).

№71. Гиперболические ф-ции и их производные.

Ф-ция y=e^x-не явл. ни чётной,ни нечётной,но её можно представить в виде суммы двух слагаемых из которых одно:чётная,второе-нечётная ф-ция e^x=(e^x+e^-x)/2+(e^x-e^-x)/2

(e^x+e^-x)/2=chx-гиперболический cos (чётная)

(e^x-e^-x)/2=shx-гиперболический sin(нечётная)shx/chx=thx

chx/shx=cthx

Св-ва гиперболических ф-ций напоминают св-ва тритгонометрпических ф-ций

ch²x-sh²x=1; ch²x+sh²x=ch2x; 2shx *chx=sh2x

Найдём произв.от тригонометрич.ф-ций: (shx)’=chx; (chx)’=shx;thx=1/ch²x;

(cthx)’= -1/sh²x

№72. Логарифмическое дифференцирование, производная степенно-показательной функции.

Производная от logax, равна или . Если ∆y есть приращение функции y=logax, соответствующее приращению ∆x аргумента x, то y+∆y=loga(x+∆x); ∆y=loga(x+∆x)-logax= . Помножим и разделим на x выражение, состоящее в правой части последнего равенства . Обозначим величину через α. Очевидно, при и данном x. Следовательно, , но как известно . Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числе e, то логарифм этого выражения стремится к logae (в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем: . Заметив, что , полученную формулу можно переписать так: .





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 755 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...