Производная частного функций

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

№44. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Свойства четной функции y=│x│. Основные элементарные функции их графики.. Переменные и постоянные величины. Определение функции. Способы задания функций.

1))))) Если исследуемая функция при изменении знака аргумента значение функции не изменяется то эта функция четная, f(-x)=f(x), а если при изменении знака аргумента знак меняется то она нечетная, f(-x)=-f(x). Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое постоянное число C, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу x значение функции не изменяется: f(x+C)=f(x). y=│x│ (рис) f ’(0) не существует. Определенной касательной провести нельзя. x=0 –min, y(0)=0, y(x)>y(0) при x>0, при x<0.

2))))) Если к каждому значению переменной «х» из некоторой области соответствует одно определенное значение «у», то это называется функция от переменной «х» у=f(х). х- независимая переменная или аргумент. Зависимость между «х и у» называется функциональной буквой «f» в символической записи функция означает, что над «х» надо произвести некоторые операции, чтобы получить «у». Совокупность значений «ч» для которых определяется значение функции «у» в силу правила f(x) называется областью определения функции. Они бывают: 1) степенная y=x^α α€R x>0. 2)показательная y=a^x a>0 x€R a≠1. 3) Тригонометрические y=sinx y=cosx y=secx и т.д. 4) Логарифмические y=log_ax a>0, a≠1, x>0. 5) Обратные тригонометрические y=arcsinx, y=arccosx, и т.д.

3))))) Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все численные значения одинаковы. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x или, в символической записи, y=f(x), y=φ(x), и т.п. Способы задания функции. 1) Аналитический. 2) Графический. 3) Табличный. 4) Словесно.

№45. Определение предела функции в точке, геометрическая интерпретация.

Опр:пусть ф-ция y=f(x) определена в нек-ой окрестности точки а. число b называют пределом ф-ции f(x) при хŠ∞ если для любого числа e>0 сущ.число δ зависящее от e>0,такое,что для всех х отличных от “а”и удовлетворяющих нер-ву |х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<e. y=f(x) b=lim_xŠa f(x),если для -e>0 сущ.δ(e)>0, -х≠а,|х-а|<δ,=>|f(x)-b|<e; 0<|x-a|<δ. Пусть f(x)Šb при хŠа. Т.к. из нер-ва |х-а|<δ=>|f(x)-b|<e,то это значит, что для всех х отстоящих от точки а не далее чем на δ точка М графика ф-ции f(x) лежит в полосе шириной 2e ограниченной двумя горизонтальными прямыми. Опр:если ф-ция yŠb₁ при xŠa, x<a,то limf(x)=b₁ при хŠа-0. В этом случае число b₁ назыв.пределом ф-ции f(x) в точке х=а слева. Если х>0, то lim_{xŠa+0 f}(x)= b₂, а число b₂ назыв.пределом ф-ции f(x) x=a справа. Пределы слева и справа назыв.односторонними пределами. Можно доказать, что для того чтобы предел ф-ции f(x) при хŠа был=b необходимо и достаточно, чтобы сущ.предел f(x). lim_xŠa f(x)= bÛсущ. lim_{xŠa-0 f}(x)= b и lim_{xŠa+0 f}(x)= b. При определении предела ф-ции в точке не требуется, чтобы ф-ции y=f(x) была определена в точке х=а. При нахождении предела ф-ции рассмотр.знач.ф-ции в окрестности точки а. Число b назыв.lim ф-ции f(x)при xŠ∞ если для любого сколь угодно малого “+”числа e сущ.число N=0,такое что для всех |х|>N выполняется нер-во f(x)-b<e.