Третий и четвертый замечательные пределы. НЕТУ

№61. Непрерывность основных элементарных функций.

Пусть ф-ция у=f(x) задана в некоторой точке х_о и некоторой окрестности с центром в точке х_о. (см.рис.1.). Придадим аргументу х_о некоторое приращение ∆х, т.е. х_о+∆х=х, тогда значение ф-ции также изменится. Пусть f(х_о)=у. Предположим f(х_о+∆х)=у_о+∆у, тогда ∆у=f(х_о+∆х)- f(х_о)-приращение ф-ции в точке х_о. Опр.:ф-ция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если бесконечно малому приращению аргумента точке х_о соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в этой точки,т.е. lim_∆хŠ0∆у=0 или lim_∆хŠ0(f(х_о+∆х)- f(х_о))=0 или lim_∆хŠ0 f(х_о+∆х)= f(х_о) или lim_хŠхо f(x)=f(х_о) (*),где lim_хŠхо x=х_о. из (*)=>lim_хŠхо f(x)=f(lim_хŠхох), т.е. для того чтобы найти предел непрерывной ф-ции в точке х_о достаточно подставить в выражение ф-ции вместо аргумента х его значение х_о. Пример: докажем: ф-ция у=х² – непрерывна для любого х_о. 1) Возьмём -х_о. х_о=х_о+∆х, тогда ф-ция получит приращение ∆у=у(х_о+∆х)- у(х_о)=(х_о+∆х)²-х_о²= х_о²+2х_о*∆х+(∆х)²-х_о²=2х_о*∆х+(∆х)². lim_∆хŠ0 ∆у= lim_∆хŠ0(2х_о*∆х+(∆х)²)=0, а это по опр.и означает, что ф-ция y=х² –непрерывна в любой точке х_о. 2) у=sinx, -х_оÎR. ∆у=sin(х_о+∆х)-sinх_о=2sin^∆х/₂*cos(х_о+^∆х/₂); lim_∆хŠ0∆у= lim_∆хŠ02sin^∆х/₂*cos(х_о+^∆х/₂)=0. Аналогично рассматривая каждую осн.элементарную ф-цию можно доказать, что каждая осн.элемент.ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Теорема1. f₁(x) и f₂(x) непрерывна в х=х_о. α(х)=f₁(x)+f₂(x) непрерывна в хÎх_о. Док-во: f₁(x) непр.в х_о=> lim_хŠхоf₁(x)=f₁(x_о); f₂(x) непр.в х_о=> lim_хŠхоf₂(x)=f₂(x_о); lim_хŠхоα(х)= lim_хŠхо(f₁(x)+f₂(x))= lim_хŠхоf₁(x)+lim_хŠхоf₂(x)= f₁(x_о)+f₂(x_о)=α(х_о)=>α(х)-непрерывна. Аналогично можно жоказать: 1)произведение 2-х непрерывных ф-ций – есть ф-ция непрерывна. 2)частное 2-х непрерывных ф-ций есть ф-ция непрерывная, если знаменатель в рассмотренной точке не равен 0. 3)если ф-ция U=α(x) непрерывна в точке х=х_о, а ф-ция f(U) непрерывна в точке U=U_o=α(x_o),то сложная ф-ция f[α(x)] будет непрерывна в точке х_о. Используя эти теоремы можно доказать теорему2. Можно доказать, что всякая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена