Ограниченность переменных, имеющих конечный предел

Пусть xŠa или xŠ∞.

Теорема 1: предел алгебраической суммы конечного числа переменных=сумме пределов этих переменных,т.е. lim(U₁+U₂+…+U_n)=limU₁+limU₂+…+limU_n. Док-во: пусть предел U=а и пусть limV=b, тогда по св-ву 7(теорема о связи) имеем U=a+a и V=b+b-бесконечно малые величины. Р ассм. переменную величину: U+V=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b)=>а это по теореме по связи означает: lim(U+V)=(a+b)=limU+limV. Пример:lim_xŠ∞(x²+2x)/x²=[∞/∞] =lim_xŠ∞(1+²/_x)= lim_xŠ∞1+lim_xŠ∞²/_x =1+0=1.

Теорема 2: предел произведения конечного числа переменных=произвед.пределов этих переменных,т.е. lim(U₁*U₂*…*U_n)=limU₁*limU₂*…*limU_n. Док-во:пусть limU=а=>по св-ву(7) U=a+a,где a-б.м.в.; limV=b=>по св-ву(7) V=b+b,где b-б.м.в. Рассм. U*V=(a+a)*(b+b)=ab+ab+ba+ab= число+б.м.в.+б.м.в.+б.м.в.,т.е. переменную величину U,V мы смогли представить в виде суммы нек-го числа аb и б.м.в., а это по теореме о связи означает, что lim(U*V)=a*b=limU*limV, теорема доказана.

Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть limU=a, a c=const=>limC=C. Рассм. lim(C*U)=limC*limU=C*limU=C*a. Пример: lim_xŠ25x³=5lim_xŠ2x²=5*8=40.

Теорема 3: предел частного 2-х ф-ций =частному пределов этих переменных если предел знаменателя отличен от 0,т.е. lim(U/V)=limU/limV,где limV≠0. Док-во: пусть limU=а=> U=a+a,где a-б.м.в.; limV=b=> V=b+b,где b-б.м.в. Рассм. U/V=(a+a)/(b+b)=a/b+((a+a)/(b+b)-a/b)=a/b+((ab+ab-ab-ab)/b(b+b)) =a/b+((ab-ab)/ b(b+b))-(б.м.в.)=>lim(U/V)=a/b=limU/limV-ч.т.д.

Пример: 1),2),3)-(см.№1на др.стороне).

Теорема 4: если между соответствующими значениями 3-х ф-ций: U(x), Z(x),V(x) выполняется нер-во U≤Z≤V и при этом ф-ции U и VŠк одному и тому же limb при хŠa или xŠ∞, то и ф-ция Z при хŠa или xŠ∞ будет стремится к тому же самому limb. Док-во: пусть хŠa. По усл: U≤Z≤V, тогда из этого нер-ва =>U-b≤Z-b≤V-b. По усл: lim_хŠaU=b=>(по опр.) это означает, что для любого ε>0 cущ.окрестность точки а в кот-ой будет выполняться нер-во |U-b|<ε. Или –ε<U-b<ε (1). По усл: lim_хŠaV=b=> для выбранного ε сущ.окрестность точки а в кот-ой выполняется нер-во: |V-b|<ε. –ε<V-b<ε (2), тогда в меньшей из этих 2-х окрестностей будут выполняться оба нер-ва (1) и (2). (см.№2 на др. стороне).

Теорема 5: если при хŠa или xŠ∞ ф-ция y принимает неотрицат.знач-ия а имеет своим пределом число b, то b≥0,т.е. y≥0, lim_{хŠaилиxŠ∞}y=b=>b≥0. Док-во: предположим противное: пусть b<0, тогда |y-b| будет ≥|b|,т.е. модуль разности |y-b| больше положительного числа модуль |b|,т.е. модуль разности не стремится к 0 при хŠa или xŠ∞=> число b не может быть пределом ф-ции y, что подтверждает условие=>наше предположение не верно и b≥0. Аналогично доказывается: y≤0, lim_{хŠaилиxŠ∞}y=b=>b≤0.

Теорема 6: если между соответствующими знач-ми 2-х ф-ций U и V выполняется нер-во U(x)≤V(x), то limU≤limV при хŠa или xŠ∞. Док-во: по усл: V-U≥0. Рассм. lim(U-V)≥0, но limV-limU≥0=>limV≥limU.ч.т.д.

№40. Бесконечно малые (б.м.) и их свойства.

Опр:ф-ция y=a(x) назыв.б.м. при хŠа, если lim_хŠаa(x)=0. Основные св-ва. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых ф-ций есть бесконечно малая ф-ция. 1)пусть U(x)= a(x)+b(x), где lim_хŠаa(x)=0 и lim_хŠаb(x)=0,т.е.нам надо доказать, что для любого e>0 сущ.число δ>0, такое что для всех х удовл.нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполнится нер-во |U(x)-0|<e или |U(x)|<e. Докажем: т.к. lim_хŠаa(x)=0=>то по определению это значит,что для любого e>0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |a(х)|<e/2. Т.к. lim_хŠаb(x)=0,то для выбранного e сущ.δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |b(х)|<e/2. Обозн. через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. δ=min|δ₁,δ₂|, тогда в δ окрестности точки “а” будет выполнятся нер-во: |U(x)|=|a(x)+b(x)|≤|a(x)|+|b(x)|<e/2+e/2=e, т.е.|U(x)|<e=>lim_xŠaU(x)=0,т.е.U(x)-бесконечно малая ф-ция. Аналогичное док-во для случая когда lim_хŠаa(x)=0 и lim_хŠаb(x)=0. 2)Произведение б.м.ф-ции при хŠа (или хŠ∞). На ограниченную ф-цию есть б.м.ф-ция. Пусть lim_хŠаa(x)=0=>,что для любого e>0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |a(х)|<e/М,где M>0. y=f(x)-ограниченная, то по определению это означает, что сущ.такое δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |f(x)|<M,M>0. Обозн.через δ наименьшие из чисел δ₁,δ₂,тогда в δ-окрестности точки “а” будет выполняться нер-во: |a(x)*f(x)|=|a(x)|*|f(x)|<eM/M=>a(x)*f(x)-бесконечно малая величина. 3)a(x)/f(x)-бесконечно малая ф-ция a(х) и ф-ция lim_хŠаf(x)=b≠0-есть бесконечно малая ф-ция. Дейст-но пусть lim_хŠаa(x)=0,а lim_хŠаf(x)=b≠0=>1/f(x)-ограниченная ф-ция, а отсюда следует, что a(x)/f(x)=a(х)*1/f(x)=беск.алая ф-ция. 4)произведение любого конечного числа бесконечно малое есть б.м. 5)произвед.б.м.ф.на const.есть б.м.ф. 6)если a(х)-б.м.в. при хŠа (или хŠ∞), то 1/a(x)-б.б.в.при хŠа (или хŠ∞). 7)если при lim_хŠаf(x)=b, то f(x)=b+a(x),где lim_хŠаa(x)=0.

№41. Бесконечно большие ф-ции,их связь с бесконечно малыми.

Опр. ф-ция f(x)назыв.бесконечно большой(б.б.) при хŠа (т.е.Š∞ при хŠа), если для любого числа М>0, сущ.число δ>0 для всех х удовл.нер-ву 0<|x-a|<δ будет выполняться |f(x)|>M,т.е. lim_xŠaf(x)=∞,если -M>0 сущ.δ>0, такое что х-; 0|х-а|<δ;|f(x)|>М .(см.рис.1.). В этом случае пишут lim_xŠaf(x)=∞ или f(x)Š∞ при хŠа. если ф-ция f(x) явл.б.б. и при этом сохраняется только “+” или только “—”,знач.,то в этом случае пишут lim_xŠaf(x)=+∞ или lim_xŠaf(x)=-∞. Докажем: lim_xŠ1 1/(1-x)²=+∞. Берём любое число M>0 и рассм.|f(x)|=+∞, |f(x)|>M; 1/(1-x)²>M; (1-x)²<1/M; |1-х|<√1/М=δ=>что в качестве δ можно взять √1/М. Для любого х, отличного от 1 наша ф-ции будет>0,т.е.ф-ция f(x)-б.б. и f(x)>0=>предел нашей ф-ции=+∞,т.е. -х≠1 1/(1-х²)>0=>f(x)-б.б.в. и f(x)>0 =>lim_xŠ1f(x)=+∞. Если ф-ция f(x)Š∞ при хŠ∞, то пришут:lim_xŠ∞f(x)=∞. Пример. lim_xŠ∞х²=+∞; lim_xŠ-∞х³=-∞; Замечания:ф-ция y=f(x) при хŠа ил при хŠ∞ может не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пределу. 1)y=sinx,xÎR при хŠ∞ y=sinx не имеет предела. 2)ф-ция y=sin1/x, x≠0 при хŠ0 не имеет предела. Опр. ф-ции y=f(x) назыв.ограниченной в нек-ой области изменения х если сущ.число M>0, такое что для всех х из этой области |f(x)|≤M. y=sinx-ограничена, т.к. |sinx|≤1=M. Опр:ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при хŠа если существуют окрестность с центром в точке А, в кот-ой ф-ция f(x) явл.ограниченной. Опр. ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при хŠ∞, если сущ.число N>0, такое что для всех |х|>N ф-ция ограничена. Теорема: если lim_хŠaf(x)=b, где b-конечное число, то f(x) ограничена при хŠа. Док-во. из равенства lim_хŠaf(x)=b=>для любого e>0 сущ.δ>0, такое что для всех х, удовлетворяющих нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<e,т.е. в заданной δ окрестности точки а. |f(x)|-|b|≤|f(x)-b|<e; |f(x)|-|b|≤e; |f(x)|<e+|b|=>ф-ция f(х) ограничена в δ окрестности точки а. Замечание:из определения ограниченной ф-ции следует, что если ф-ция f(x) явл.б.б. (т.е.если lim_xŠaf(x)=∞ или lim_xŠ∞f(x)=∞), то она не является ограниченной. Обратное не верно: неограниченная ф-ция может и не быть б.б. Пример. y=xsinx,xÎR-неограниченная,т.к. для любого М>0 найдётся х |хsinx|>M,но эта ф-ция не явл.б.б.,т.к.y=0 при х=0,p,2p…

№42. Теорема о разности между переменной величиной и её пределом.

Опр: число а назыв.пределом переменной величины х если для любого сколь угодно малого положительного числа e можно указать такое значение переменной х, начиная с которого все последующие знач.переменной будут удовлетворять след.нер-ву: |х-а|<e;-e<x-a<e;a-e<x<a+e а=limх при хŠа. Пример:х₁=1+1;х₂=1+¹/₂;х₃=1+¹/₃;……;х_n=1+¹/_n… Докажем пользуясь опр.,что lim_x→∞x_n=1: Рассм. |x_n-1|<e;|1+¹/_n-1|<e;¹/_n<e;n>¹/_e.=>,что все члены последовательности с номерами большими чем ¹/_e будут удовлетворять след.нер-ву: |x_n-1|<e.ч.т.д.

Замечания: 1)очевидно, что предел постоянной величины=самой постоянной,т.е. limc=c,где c=const. Действит.возьмём -e>0 и рассм. |х-с|=|с-с|=0<e,для -e>0. 2)переменная величина не может иметь двух различных пределов. Действит-но limx=a и limx=b,a≠b.пусть для определённости a<b,тогда согласно определению если limx=a и limx=b,то сущ.знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.удовлетворяют нер-ву. limx=a и limx=b; |x-а|<e и |x-b|<e, а это невозможно если взять e<(b-a)/2 (см.рис.2). …,если y переменой величины сущ.,то этот предел единственный. Говорят,что переменная хŠ∞ если для каждого наперёд заданного положит-но числа М сущ.такое знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву |х|>M.если переменная хŠ∞, то её назыв.бесконечно большой переменной величиной (б.м.в.).Пример:х₁=-1,х₂=2,х₃=-3…х_n=(-1)ⁿ*n-эта переменная величина будет бесконечно малойсм .(рис.3). Говорят,что переменная величина хŠ+∞,если для -М>0 все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву. Пример: х₁=1,х₂=2…х_n=n… (см.рис.4.). Говорят,что переменная хŠ-∞,если для любого M>0 все послед.знач.х начиная с нек-ого удовл.нер-ву.x<-M (см.рис.5). Пример. х₁=-1,х₂=-2,х₃=-3…х_n=-n…