Определение предела переменной величины. Теорема о единственности предела. Теорема о пределе промежуточной переменной

Предел переменной величины. Определение: Постоянное число a называют пределом переменной величины x, если для любого e > 0 можно указать такое значение x, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству | x - a | < e.

У одной переменной двух пределов не существует.(Доказательство)

Теорема (единственность предела) Если функция f в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: метод от противного lim x → af (x)= b,lim x → af (x)= c, b /= c. Возьмем ε=∣ b − c ∣, по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo (a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣ f (x)− b ∣<2∣ b − c ∣∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣, тогда в точках этой же окрестности ∣ b − c ∣=∣(b − f (x))+(f (x)+ c)∣≤∣ f (x)− b ∣+∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣+2∣ b − c ∣=∣ b − c ∣ противоречие (от неправильно допущения)

ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)

Если на и существуют и и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.
используя определение предела по Коши для функций и при .